Determine a dimensão do subespaço gerado por:
(cc1 & -1 0 & 0), (ll0 & 0 1 & 1), (cc-2 & 2 1 & 1), (ll1 & 0 0 & 0)

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do subespaço de M2times2(R) gerado por quatro matrizes. O conteúdo é Álgebra Linear: dimensão de um espaço gerado por vetores. Vamos identificar cada matriz com um vetor em R^4 usando a base E11,E12,E21,E22.

Passo 2

Associamos cada matriz ao vetor correspondente:
A1=1&-10&0mapsto v1=(1,-1,0,0),
A2=0&01&1mapsto v2=(0,0,1,1),
A3=-2&21&1mapsto v3=(-2,2,1,1),
A4=1&00&0mapsto v4=(1,0,0,0)

Passo 3

Buscamos combinações lineares que mostrem dependência. Observamos que
-2,v1 + v2 = (-2cdot1+0,,-2cdot(-1)+0,;0+1,;0+1) = (-2,2,1,1) = v3
Logo v3 é combinação de v1 e v2 e não aumenta a dimensão.

Passo 4

Verificamos agora se v4 está no span de v1,v2. Se existissem a,b tais que
a,v1 + b,v2 = (a,,-a,,b,,b) = v4 = (1,0,0,0),
teríamos a=1 e -a=0, o que é impossível. Portanto v4 não é combinação de v1 e v2. Assim v1,v2,v4 é um conjunto independente.

Passo 5

Como v3 é dependente de v1,v2 e v4 é independente dos dois, a base do subespaço pode ser escolhida como v1,v2,v4. Logo a dimensão do subespaço gerado é 3.

Resposta

A dimensão do subespaço gerado pelas quatro matrizes é 3.

Exercícios relacionados