Seja T: R^4 R^4 uma transformação linear dada por
T(x, y, z, w)=(x-w, y-w,-z, z)
Determine a imagem de T e encontre uma base para este subespaço.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! A gente tem uma transformação T: R^4 R^4 definida por T(x, y, z, w) = (x-w, y-w, -z, z) . Nosso objetivo é descobrir qual é a imagem dessa transformação e encontrar uma base para esse subespaço. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como imagem de uma transformação e bases de subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem de T , denotada por Im(T) , é o conjunto de todos os vetores T(v) onde v varia em R^4 . Ou seja, é o conjunto de todas as possíveis saídas da transformação.

Passo 3

Vamos escrever a transformação T(x, y, z, w) = (x-w, y-w, -z, z) de forma vetorial:
T(x, y, z, w) = x - w y - w -z z
Isso nos ajuda a visualizar como cada componente do vetor de entrada afeta o vetor de saída.

Passo 4

Para encontrar a imagem de T , vamos expressar os componentes de T(x, y, z, w) em termos de combinações lineares das variáveis x, y, z, w :
T(x, y, z, w) = x 1 0 0 0 + y 0 1 0 0 + z 0 0 -1 1 + w -1 -1 0 0
Isso mostra que a imagem é gerada pelas combinações dessas quatro colunas.

Passo 5

Agora, precisamos identificar quais dessas colunas são vetores linearmente independentes, pois eles vão formar a base da imagem. Observando as colunas:
1 0 0 0, 0 1 0 0, 0 0 -1 1, -1 -1 0 0
Vemos que o quarto vetor é uma combinação dos dois primeiros vetores negados. Portanto, ele não adiciona nada novo à base.

Passo 6

Portanto, os vetores que formam uma base para a imagem de T são:
1 0 0 0, 0 1 0 0, 0 0 -1 1
Esses vetores são linearmente independentes e geram todo o subespaço imagem.

Resposta

A imagem de T é o subespaço gerado pelos vetores 1 0 0 0 , 0 1 0 0 e 0 0 -1 1 . Portanto, uma base para a imagem de T é:
, 1 0 0 0,; 0 1 0 0,; 0 0 -1 1 ,

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