Determine a imagem de e encontre uma base para este subespaço.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! A gente tem uma transformação definida por . Nosso objetivo é descobrir qual é a imagem dessa transformação e encontrar uma base para esse subespaço. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como imagem de uma transformação e bases de subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem de , denotada por , é o conjunto de todos os vetores onde varia em . Ou seja, é o conjunto de todas as possíveis saídas da transformação.
Passo 3
Vamos escrever a transformação de forma vetorial:
Isso nos ajuda a visualizar como cada componente do vetor de entrada afeta o vetor de saída.
Passo 4
Para encontrar a imagem de T , vamos expressar os componentes de T(x, y, z, w) em termos de combinações lineares das variáveis x, y, z, w :
T(x, y, z, w) = x 1 0 0 0 + y 0 1 0 0 + z 0 0 -1 1 + w -1 -1 0 0
Isso mostra que a imagem é gerada pelas combinações dessas quatro colunas.
Passo 5
Agora, precisamos identificar quais dessas colunas são vetores linearmente independentes, pois eles vão formar a base da imagem. Observando as colunas:
1 0 0 0, 0 1 0 0, 0 0 -1 1, -1 -1 0 0
Vemos que o quarto vetor é uma combinação dos dois primeiros vetores negados. Portanto, ele não adiciona nada novo à base.
Passo 6
Portanto, os vetores que formam uma base para a imagem de T são:
1 0 0 0, 0 1 0 0, 0 0 -1 1
Esses vetores são linearmente independentes e geram todo o subespaço imagem.
Resposta
A imagem de T é o subespaço gerado pelos vetores 1 0 0 0 , 0 1 0 0 e 0 0 -1 1 . Portanto, uma base para a imagem de T é: