Dada a matriz
, determine:
(a)
det A utilizando as operações elementares sobre as linhas de
A ;
(b)
det A^T ;
(c)
det(A^2) ;
(d)
det(A^-1) ;
(e)
det(-A) ;
(f)
det(3 A A^T) .
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Passo 1
O enunciado pede para calcular vários determinantes envolvendo a matriz
Vamos usar duas ideias principais:
- Triangularizar
por operações elementares de linha que não alteramA , e então tomar o produto dos pivôs.det A - Aplicar as propriedades
,det(A^T)=det A ,det(A^2)=(det A)^2 ,det(A^-1)=1/det A para matrizesdet(cA)=c^ndet A , entimes n .det(AB)=det Acdotdet B
Passo 2
Eliminamos abaixo do primeiro pivô
a11=1 usando
que não mudam
det A . Ficamos com
Passo 3
Agora eliminamos abaixo do segundo pivô
7 em
a22 via
ficando
Passo 4
Por fim, eliminamos abaixo do terceiro pivô
-tfrac67 usando
que leva à forma triangular superior
Passo 5
O determinante de uma triangular superior é o produto dos pivôs. Logo
Passo 6
Pela propriedade
det(A^T)=det A , temos
Passo 7
Como
det(A^2)=l(det Ar)^2 , resulta
Passo 8
Para a inversa vale
det(A^-1)=1/det A , logo
Passo 9
Como
det(-A)=(-1)^4det A=det A , temos
Passo 10
Finalmente
é
4times4 , então
Resposta
(a)
58
(b)58
(c)3364
(d)tfrac158
(e)58
(f)272484
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)