Dada a matriz A=[cccc1 & 5 & -1 & 3 -1 & 2 & -2 & 4 6 & 7 & 3 & -1 5 & 3 & 0 & 4], determine:
(a) det A utilizando as operações elementares sobre as linhas de A;
(b) det A^T;
(c) det(A^2);
(d) det(A^-1);
(e) det(-A);
(f) det(3 A A^T).

Passo 1

O enunciado pede para calcular vários determinantes envolvendo a matriz
A = 1 & 5 & -1 & 3 -1 & 2 & -2 & 4 6 & 7 & 3 & -1 5 & 3 & 0 & 4
Vamos usar duas ideias principais:
  1. Triangularizar A por operações elementares de linha que não alteram det A, e então tomar o produto dos pivôs.
  2. Aplicar as propriedades
    det(A^T)=det A, det(A^2)=(det A)^2, det(A^-1)=1/det A, det(cA)=c^ndet A para matrizes ntimes n, e det(AB)=det Acdotdet B.

Passo 2

Eliminamos abaixo do primeiro pivô a11=1 usando
R2 R2+R1, R3 R3-6R1, R4 R4-5R1,
que não mudam det A. Ficamos com
1 & 5 & -1 & 3 0 & 7 & -3 & 7 0 & -23 & 9 & -19 0 & -22 & 5 & -11

Passo 3

Agora eliminamos abaixo do segundo pivô 7 em a22 via
R3 R3 + 237R2, R4 R4 + 227R2,
ficando
1 & 5 & -1 & 3 0 & 7 & -3 & 7 0 & 0 & -tfrac67 & 4 0 & 0 & -tfrac317 & 11

Passo 4

Por fim, eliminamos abaixo do terceiro pivô -tfrac67 usando
R4 R4 - l(-31/7-6/7r)R3 = R4 - 316R3,
que leva à forma triangular superior
1 & * & * & * 0 & 7 & * & * 0 & 0 & -tfrac67 & * 0 & 0 & 0 & -tfrac293

Passo 5

O determinante de uma triangular superior é o produto dos pivôs. Logo
det A = 1 times 7 times l(-tfrac67r)timesl(-tfrac293r) = -6 times l(-tfrac293r) = 1743 = 58

Passo 6

Pela propriedade det(A^T)=det A, temos
det(A^T)=58

Passo 7

Como det(A^2)=l(det Ar)^2, resulta
det(A^2)=58^2=3364

Passo 8

Para a inversa vale det(A^-1)=1/det A, logo
det(A^-1)=158

Passo 9

Como det(-A)=(-1)^4det A=det A, temos
det(-A)=58

Passo 10

Finalmente
3A A^T
é 4times4, então
det(3A A^T)=detl(3,(A A^T)r) =3^4det(A A^T) =81cdotdet Acdotdet(A^T) =81cdot58cdot58 =272484

Resposta

(a) 58
(b) 58
(c) 3364
(d) tfrac158
(e) 58
(f) 272484

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