Seja T: R^4 longrightarrow R^4 a transformação linear que na base canônica de R^4 é representada pela matriz
A=[rrrr 2 & 0 & 1 & 0 0 & 2 & 0 & 1 12 & 0 & 3 & 0 0 & -1 & 0 & 0 ]
Calcule o polinômio característico de T;

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear TcolonR^4toR^4 cuja matriz na base canônica é
A= 2 & 0 & 1 & 0 0 & 2 & 0 & 1 12& 0 & 3 & 0 0 &-1 & 0 & 0
Precisamos encontrar o polinômio característico chi(lambda)=det(A-lambda I). Vamos usar o fato de que as colunas 1 e 3 só interagem com as linhas 1 e 3, e as colunas 2 e 4 só com as linhas 2 e 4, de modo que o determinante se fatora em dois blocos 2times2.

Passo 2

Escrevemos
A - lambda I = 2-lambda & 0 & 1 & 0 0 & 2-lambda & 0 & 1 12 & 0 & 3-lambda& 0 0 &-1 & 0 &-lambda
Como as colunas 1,3 não “misturam” com 2,4, temos
det(A-lambda I) =det 2-lambda & 1[6pt] 12 &3-lambda ;times; det 2-lambda & 1[3pt] -1 &-lambda ]

Passo 3

Calculamos o primeiro bloco
det 2-lambda & 1 12 &3-lambda =(2-lambda)(3-lambda)-12 =lambda^2-5lambda-6

Passo 4

E o segundo bloco
det 2-lambda & 1 -1 &-lambda =(2-lambda)(-,lambda)-(-1) =lambda^2-2lambda+1 =(lambda-1)^2

Passo 5

Multiplicando os dois fatores obtemos
chi(lambda) =(lambda^2-5lambda-6),(lambda^2-2lambda+1)
Fazendo a expansão:
chi(lambda) =lambda^4-7lambda^3+5lambda^2+7lambda-6

Resposta

chi(lambda)=lambda^4-7lambda^3+5lambda^2+7lambda-6

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