Seja T: R^3 longrightarrow R^3 a transformação linear que na base canônica de R^3 é representada pela matriz
A=[rrr 9 & 0 & 0 3 & 7 & -1 3 & -2 & 8 ]
Determine uma matriz de mudança de base S e uma matriz diagonal D tais que D=S^-1 A S.

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar a matriz
A = 9 & 0 & 0 3 & 7 & -1 3 & -2 & 8
isto é, encontrar uma matriz de mudança de base S invertível e uma matriz diagonal D tais que
D ;=; S^-1 A S
O conteúdo principal é o de diagonalização por meio de valores e vetores próprios: precisamos calcular o polinômio característico de A, seus autovalores (valores próprios), e para cada autovalor achar uma base do respectivo autespaço (autovetores).

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A por
det(A - lambda I) =det 9-lambda & 0 & 0 3 & 7-lambda & -1 3 & -2 & 8-lambda =(9-lambda)det7-lambda & -1-2 & 8-lambda
Expandindo o determinante 2times2:
det7-lambda & -1-2 & 8-lambda =(7-lambda)(8-lambda)-(-1)(-2) =lambda^2-15lambda+56-2 =lambda^2-15lambda+54
Logo
det(A-lambda I)=(9-lambda)(lambda^2-15lambda+54)

Passo 3

Fatoramos lambda^2-15lambda+54=0. A equação quadrática tem
De<a =(-15)^2-4cdot1cdot54=225-216=9,
portanto as raízes são
lambda = 15pm32;=;9ou6
Assim os autovalores são
lambda1=9(mu<iplicidade algébrica 2), lambda2=6(mu<iplicidade algébrica 1) éé

Passo 4

Agora achamos vetores próprios:
Para , resolvemos , i.e.
Temos e livres. Escolhemos duas soluções independentes:
Para , resolvemos , i.e.
Tomamos

Passo 5

Formamos a matriz S cujas colunas são v1,v2,v3 e a matriz diagonal D com os autovalores correspondentes na mesma ordem:
S = 2 & 1 & 0 3 & 0 & 1 0 & 3 & 1 , D = 9 & 0 & 0 0 & 9 & 0 0 & 0 & 6
Então de fato vale
D ;=; S^-1 A S

Resposta

S = 2 & 1 & 03 & 0 & 10 & 3 & 1,
\quad
D = 9 & 0 & 00 & 9 & 00 & 0 & 6.

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