Seja T: R^3 longrightarrow R^3 a transformação linear que na base canônica de R^3 é representada pela matriz
A=[rrr 9 & 0 & 0 3 & 7 & -1 3 & -2 & 8 ]
Calcule os autovalores e os subespaços dos respectivos autovetores de T ;

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:R^3toR^3 cuja matriz na base canônica é
A = 9 & 0 & 0 3 & 7 & -1 3 & -2 & 8
Queremos os autovalores resolvendo det(A-lambda I)=0 e, em seguida, os autovetores como o núcleo de A-lambda I.

Passo 2

Escrevendo
A - lambda I = 9-lambda & 0 & 0 3 & 7-lambda & -1 3 & -2 & 8-lambda ,
temos
det(A-lambda I) = (9-lambda)det7-lambda & -1-2 & 8-lambda = (9-lambda)l((7-lambda)(8-lambda)-2r)

Passo 3

Expandindo o segundo fator:
(7-lambda)(8-lambda)-2 = 56 -15lambda + lambda^2 -2 = lambda^2 -15lambda +54
Logo o polinômio característico é
p(lambda) = (9-lambda),(lambda^2 -15lambda +54)

Passo 4

As raízes de lambda^2-15lambda+54=0 são
lambda = 15pmraiz225-2162 = 15pm32,
ou seja lambda=9 e lambda=6. Como já temos o fator 9-lambda, concluímos que
lambda=9 tem multiplicidade algébrica 2 e lambda=6 tem multiplicidade 1.

Passo 5

Para lambda=6 resolvemos (A-6I)v=0:
A-6I = 3 & 0 & 0 3 & 1 & -1 3 & -2 & 2
Da primeira linha vem 3x=0Rightarrow x=0. Das outras linhas surge y=z. Portanto
v=(0,y,y)=y,(0,1,1),
e
E6 = ker(A-6I) = Span(0,1,1)

Passo 6

Para lambda=9 resolvemos (A-9I)v=0:
A-9I = 0 & 0 & 0 3 & -2 & -1 3 & -2 & -1
A única equação não-trivial é 3x-2y-z=0, ou seja z=3x-2y. Tomando x=s e y=t,
v=(s,t,3s-2t)=s,(1,0,3)+t,(0,1,-2),
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E9 = ker(A-9I) = Span(1,0,3),(0,1,-2)

Resposta

lambda=6 com E6=Span(0,1,1)
lambda=9 com E9=Span(1,0,3),(0,1,-2)

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