Seja a matriz A=[ccc1 & 1 & -1 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1].
(a) Determine o polinômio p(x)=det(x I3-A), onde I3 é a matriz identidade de ordem 3 e x in R.
(b) Verifique que p(A)=0, onde 0 é a matriz nula de ordem 3 .
(c) Use o ítem anterior para calcular a inversa de A.

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A = 1 & 1 & -1 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1
e pede:
(a) o polinômio característico p(x)=det(xI3-A);
(b) verificar que p(A)=0 (Cayley–Hamilton);
(c) usar esse fato para obter A^-1.

Passo 2

Vamos calcular
p(x)=detl(xI3-Ar) =det x-1 & -1 & 1 -1 & x & -1 0 & -1 & x-1
Expandindo pela primeira linha:
p(x) =(x-1)detx & -1-1 & x-1 -(-1)det-1 & -10 & x-1 +1det-1 & x0 & -1
Calculemos cada termo:
detx & -1-1 & x-1 =x(x-1)-(-1)(-1)=x^2-x-1,
det-1 & -10 & x-1 =(-1)(x-1)-(-1)cdot0=-(x-1),
det-1 & x0 & -1 =(-1)(-1)-xcdot0=1
Logo,
p(x) =(x-1)(x^2-x-1)+l[-(x-1)r]+1 =x^3-2x^2-x+3

Passo 3

Para verificar p(A)=A^3-2A^2-A+3I=0, calculamos primeiro
A^2=2&0&-11&2&01&1&2, A^3=2&1&-33&1&12&3&2
Então
A^3-2A^2-A+3I =2&1&-33&1&12&3&2 -22&0&-11&2&01&1&2 -1&1&-11&0&10&1&1 +31&0&00&1&00&0&1 =03times3
Isso confirma p(A)=0.

Passo 4

Da relação A^3-2A^2-A+3I=0 isolamos I:
3I=-A^3+2A^2+A Longrightarrow 3A^-1=-A^2+2A+I,
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A^-1=-A^2+2A+I3 =13 1 & 2 & -1 1 & -1 & 2 -1 & 1 & 1

Resposta

(a) p(x)=x^3-2x^2-x+3.
(b) p(A)=A^3-2A^2-A+3I=03times3.
(c) A^-1=13 1 & 2 & -1 1 & -1 & 2 -1 & 1 & 1

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