Dada a Matriz A encontre a equação característica e os autovalores lambda ( 3,0 pontos)
A=[ccc 4 & 0 & 1 -2 & 1 & 0 -2 & 0 & 1 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente achar a equação característica e os autovalores da matriz A . A matéria que estamos usando aqui é álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver isso, a gente vai precisar calcular o determinante da matriz A - lambda I , onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores que queremos encontrar.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz A - lambda I . A matriz identidade I de ordem 3 é:
I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Então, A - lambda I fica:
A - lambda I = 4 - lambda & 0 & 1 -2 & 1 - lambda & 0 -2 & 0 & 1 - lambda

Passo 3

Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz A - lambda I . O determinante nos dá a equação característica. Vamos calcular:
det(A - lambda I) = 4 - lambda & 0 & 1 -2 & 1 - lambda & 0 -2 & 0 & 1 - lambda
Usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores, vamos calcular esse determinante.

Passo 4

Fazendo a expansão pelo primeiro a linha:
det(A - lambda I) = (4 - lambda) cdot det 1 - lambda & 0 0 & 1 - lambda - 0 + 1 cdot det -2 & 1 - lambda -2 & 0
Calculando os determinantes menores:
det 1 - lambda & 0 0 & 1 - lambda = (1 - lambda)^2
det -2 & 1 - lambda -2 & 0 = (-2)(0) - (-2)(1 - lambda) = 2(1 - lambda)
Substituindo de volta:
det(A - lambda I) = (4 - lambda)(1 - lambda)^2 + 2(1 - lambda)

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
(4 - lambda)(1 - lambda)^2 + 2(1 - lambda) = (1 - lambda)[(4 - lambda)(1 - lambda) + 2]
Calculando dentro dos colchetes:
(4 - lambda)(1 - lambda) + 2 = 4(1 - lambda) - lambda(1 - lambda) + 2 = 4 - 4lambda - lambda + lambda^2 + 2 = lambda^2 - 5lambda + 6
Então, temos:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(lambda^2 - 5lambda + 6)

Passo 6

Agora, igualamos a determinante a zero para encontrar a equação característica:
(1 - lambda)(lambda^2 - 5lambda + 6) = 0
Isso nos dá as soluções:
1 - lambda = 0 ou lambda^2 - 5lambda + 6 = 0
Resolvendo, obtemos:
lambda = 1 ou lambda = 2 ou lambda = 3

Resposta

A equação característica é (1 - lambda)(lambda^2 - 5lambda + 6) = 0 e os autovalores são lambda = 1 , lambda = 2 e lambda = 3 .

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