Exercício: Analisar a EDO
com as condiçães iniciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que a gente tem aqui:
. A gente vai precisar de conceitos básicos de EDOs, especialmente sobre equações separáveis. Então, vamos lá entender o que precisa ser feito!
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão para facilitar a resolução. A equação que temos é
. Para deixá-la mais clara, vamos dividir ambos os lados por
(lembrando que
):
Passo 3
Agora, vamos perceber que essa é uma equação separável, ou seja, podemos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação. Vamos fazer isso dividindo ambos os lados por
:
Isso nos dá uma forma mais simples para integrar.
Passo 4
Vamos integrar os dois lados da equação. No lado esquerdo, temos
, que é igual a
. Isso integra para o logaritmo natural de
:
Integrando ambos os lados:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos resolver para
. Podemos reescrever a equação exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Sabendo que
, podemos simplificar:
onde
é uma nova constante.
Passo 6
Agora, vamos aplicar a condição inicial que foi dada:
. Vamos substituir
na solução encontrada:
Isso não nos dá informação direta sobre
, mas indica que a única função que satisfaz essa condição para todos os
é
.
Resposta
A solução da EDO
com a condição inicial
é: