Exercício: Analisar a EDO x y^prime=2 y com as condiçães iniciais:
y(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que a gente tem aqui: x y' = 2 y. A gente vai precisar de conceitos básicos de EDOs, especialmente sobre equações separáveis. Então, vamos lá entender o que precisa ser feito!

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão para facilitar a resolução. A equação que temos é x y' = 2 y. Para deixá-la mais clara, vamos dividir ambos os lados por x (lembrando que x neq 0):
y' = 2x y

Passo 3

Agora, vamos perceber que essa é uma equação separável, ou seja, podemos separar as variáveis y e x em lados opostos da equação. Vamos fazer isso dividindo ambos os lados por y:
y'y = 2x
Isso nos dá uma forma mais simples para integrar.

Passo 4

Vamos integrar os dois lados da equação. No lado esquerdo, temos y'y, que é igual a dydx cdot 1y. Isso integra para o logaritmo natural de y:
integral 1y dydx dx = integral 2x dx
Integrando ambos os lados:
ln |y| = 2 ln |x| + C
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos resolver para y. Podemos reescrever a equação exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
y = e^2 ln |x| + C = e^C cdot e^2 ln |x|
Sabendo que e^2 ln |x| = |x|^2, podemos simplificar:
y = C' x^2
onde C' = e^C é uma nova constante.

Passo 6

Agora, vamos aplicar a condição inicial que foi dada: y(0) = 0. Vamos substituir x = 0 na solução encontrada:
0 = C' cdot 0^2 Rightarrow 0 = 0
Isso não nos dá informação direta sobre C', mas indica que a única função que satisfaz essa condição para todos os x é y = 0.

Resposta

A solução da EDO x y' = 2 y com a condição inicial y(0) = 0 é:
y(x) = 0

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