Exercício: Analisar a EDO
com as condiçães iniciais:
Passo 1
O enunciado pede para analisar a EDO
com a condição inicial
. O conteúdo envolvido é uma EDO de primeira ordem que pode ser escrita como linear ou separável, mas percebe-se logo que em
o coeficiente de
anula-se, indicando ponto singular.
Passo 2
Reescrevendo para
, temos
Como a função
não é contínua em
, o teorema de existência e unicidade não garante solução passando por
. Logo, só podemos procurar solução em intervalos que não contenham
.
Passo 3
Resolver por separação de variáveis (para
):
Integramos ambos os lados:
onde
é constante de integração.
Passo 4
Exponenciando, obtemos a solução geral em cada ramo
ou
:
com
.
Passo 5
Para tentar impor
, note que
para qualquer
. Não há como escolher
que faça
. Além disso, a EDO não está definida em
, de modo que não existe solução contínua (nem de classe
) em qualquer intervalo que contenha
e que satisfaça
.
Resposta
O problema não admite solução em torno de
satisfazendo
. A única família de soluções em
é
, mas nenhuma delas alcança
.