Exercício: Analisar a EDO x y^prime=2 y com as condiçães iniciais:
y(0)=3

Passo 1

O enunciado pede para analisar a EDO
x,y' = 2y
com a condição inicial y(0)=3. O conteúdo envolvido é uma EDO de primeira ordem que pode ser escrita como linear ou separável, mas percebe-se logo que em x=0 o coeficiente de y' anula-se, indicando ponto singular.

Passo 2

Reescrevendo para xneq0, temos
y' = 2x,y
Como a função tfrac2x não é contínua em x=0, o teorema de existência e unicidade não garante solução passando por x=0. Logo, só podemos procurar solução em intervalos que não contenham 0.

Passo 3

Resolver por separação de variáveis (para xneq0):
y'y = 2x Longrightarrow dyy = 2,dxx
Integramos ambos os lados:
ln|y| = 2ln|x| + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Exponenciando, obtemos a solução geral em cada ramo x>0 ou x<0:
|y| = e^C,x^2 Longrightarrow y(x) = K,x^2,
com KinR.

Passo 5

Para tentar impor y(0)=3, note que
limxto0y(x) = limxto0K,x^2 = 0
para qualquer K. Não há como escolher K que faça y(0)=3. Além disso, a EDO não está definida em x=0, de modo que não existe solução contínua (nem de classe C^1) em qualquer intervalo que contenha 0 e que satisfaça y(0)=3.

Resposta

O problema não admite solução em torno de x=0 satisfazendo y(0)=3. A única família de soluções em xneq0 é y(x)=Kx^2, mas nenhuma delas alcança y(0)=3.

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