Prove que
é divisível por
, se
é impar.
Passo 1
Beleza, o enunciado manda a gente provar que
é divisível por
sempre que
for ímpar.
Matéria envolvida: teoria dos números, mais precisamente congruências modulares e o Teorema Binomial.
O que vamos usar:
Matéria envolvida: teoria dos números, mais precisamente congruências modulares e o Teorema Binomial.
O que vamos usar:
- Definição de congruência
(isto é, divide ). - O Teorema Binomial para mostrar que
é “igual” a módulo .
Passo 2
Primeiro, lembra que
significa que
. Mostrar que
é divisível por
equivale a provar
Logo nosso alvo é mostrar
.
Passo 3
Agora, para cada termo
com
, considere o “par”
. Queremos ver que
Pela expansão binomial:
Note que, para todo
,
tem pelo menos um fator
, então cada parcela com
some a zero módulo
. Sobrou só o
:
Passo 4
Como
é ímpar,
. Então cada par dá
E os índices
se agrupam perfeitamente em pares
(não há nenhum “sobrando” porque
é ímpar). Somando todos esses pares, o total
fica congruente a zero módulo
.
Resposta
Portanto,
é divisível por
sempre que
for ímpar.