Prove que 1^n+2^n+3^n+cdots+(n-1)^n é divisível por n, se n é impar.

Passo 1

Beleza, o enunciado manda a gente provar que
S = 1^n + 2^n + 3^n + cdots + (n-1)^n
é divisível por n sempre que n for ímpar.
Matéria envolvida: teoria dos números, mais precisamente congruências modulares e o Teorema Binomial.
O que vamos usar:
  • Definição de congruência a equiv b pmod n (isto é, n divide a-b).
  • O Teorema Binomial para mostrar que (n-k)^n é “igual” a (-k)^n módulo n.

Passo 2

Primeiro, lembra que
a equiv b pmod n
significa que nmid(a-b). Mostrar que S é divisível por n equivale a provar
S equiv 0 pmod n
Logo nosso alvo é mostrar 1^n + 2^n + cdots + (n-1)^n equiv 0pmod n.

Passo 3

Agora, para cada termo k^n com 1<= k<= n-1, considere o “par” (n-k)^n. Queremos ver que
(n-k)^n equiv (-k)^n pmod n
Pela expansão binomial:
(n-k)^n =sumi=0^n binomni,n^i,(-k)^,n-i
Note que, para todo i>=1, binomni,n^i tem pelo menos um fator n, então cada parcela com i>=1 some a zero módulo n. Sobrou só o i=0:
(n-k)^n equiv (-k)^n pmod n

Passo 4

Como n é ímpar, (-k)^n = -,k^n. Então cada par dá
k^n + (n-k)^n equiv k^n + (-k^n) = 0 pmod n
E os índices k=1,2,dots,n-1 se agrupam perfeitamente em pares k,n-k (não há nenhum “sobrando” porque n é ímpar). Somando todos esses pares, o total S fica congruente a zero módulo n.

Resposta

Portanto, 1^n + 2^n + 3^n + cdots + (n-1)^n é divisível por n sempre que n for ímpar.

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