Dada a matriz Am times n.
i. Calcule uma base para im A e para NA.
ii. Verifique que rho(A)+nu(A)=n.
A=[ccccc1 & 1 & -1 & 2 & 0 2 & -4 & 0 & 1 & 1 5 & -1 & -3 & 7 & 1 3 & -9 & 1 & 0 & 2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! O enunciado nos pede para encontrar uma base para a imagem de A (que é basicamente o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de A ) e para o núcleo de A (que são todos os vetores x que satisfazem A x = 0 ). Além disso, precisamos verificar a relação entre a classificação de A (rank) e a nulidade de A . Para isso, vamos precisar usar conceitos de matriz, operações elementares e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a base para a imagem de A . Para isso, precisamos determinar o espaço gerado pelas colunas de A . A melhor maneira de fazer isso é transformar A em sua forma escalonada por linhas (forma reduzida por linhas) usando operações elementares.

Passo 3

Vamos começar com a matriz A :
A = 1 & 1 & -1 & 2 & 0 2 & -4 & 0 & 1 & 1 5 & -1 & -3 & 7 & 1 3 & -9 & 1 & 0 & 2
Nosso objetivo é usar o método de eliminação de Gauss para simplificar essa matriz.

Passo 4

Primeiro, vamos usar o elemento a11 = 1 como nosso pivô. Vamos zerar os elementos abaixo dele na primeira coluna.
  • R2 = R2 - 2R1 :
R2 = [2 - 2*1, -4 - 2*1, 0 - 2*(-1), 1 - 2*2, 1 - 2*0] = [0, -6, 2, -3, 1]
  • R3 = R3 - 5R1 :
R3 = [5 - 5*1, -1 - 5*1, -3 - 5*(-1), 7 - 5*2, 1 - 5*0] = [0, -6, 2, -3, 1]
  • R4 = R4 - 3R1 :
R4 = [3 - 3*1, -9 - 3*1, 1 - 3*(-1), 0 - 3*2, 2 - 3*0] = [0, -12, 4, -6, 2]
Nossa matriz agora fica:
1 & 1 & -1 & 2 & 0 0 & -6 & 2 & -3 & 1 0 & -6 & 2 & -3 & 1 0 & -12 & 4 & -6 & 2

Passo 5

Observamos que as linhas 2 e 3 são iguais, então podemos eliminar a linha 3. Além disso, a linha 4 é múltiplo da linha 2, então também podemos eliminar a linha 4. Após essas eliminações, temos:
1 & 1 & -1 & 2 & 0 0 & -6 & 2 & -3 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0

Passo 6

Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo por -6 para obter o pivô igual a 1:
R2 = 1-6 R2 = [0, 1, -13, 12, -16]
Nossa matriz fica:
1 & 1 & -1 & 2 & 0 0 & 1 & -13 & 12 & -16 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0

Passo 7

Agora, vamos eliminar o 1 na posição a12 usando a segunda linha:
R1 = R1 - R2 = [1 - 0, 1 - 1, -1 - (-13), 2 - 12, 0 - (-16)] = [1, 0, -23, 32, 16]
A matriz final na forma escalonada reduzida por linhas é:
1 & 0 & -23 & 32 & 16 0 & 1 & -13 & 12 & -16 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0

Passo 8

Com essa forma, podemos identificar as colunas que contêm os pivôs (as primeiras entradas não nulas de cada linha). Aqui, as colunas 1 e 2 são as que têm pivôs. Portanto, as colunas correspondentes na matriz original formam uma base para a imagem de A .
Então, uma base para im A é formada pelas colunas 1 e 2 de A :
1 2 5 3 , 1 -4 -1 -9

Passo 9

Agora, vamos encontrar uma base para o núcleo de [A), . Para isso, precisamos resolver o sistema . Com a matriz na forma escalonada reduzida, podemos escrever as equações:
Vamos expressar as variáveis livres e .

Passo 10

Resolvendo as equações:
  1. Da primeira equação:
x1 = 23x3 - 32x4 - 16x5
  1. Da segunda equação:
x2 = 13x3 - 12x4 + 16x5
Agora, expressamos x como:
x = x1 x2 x3 x4 x5 = x3 23 13 1 0 0 + x4 -32 -12 0 1 0 + x5 -16 16 0 0 1

Passo 11

Portanto, uma base para NA é formada pelos vetores que multiplicam as variáveis livres x3, x4, x5 :
23 13 1 0 0 , -32 -12 0 1 0 , -16 16 0 0 1

Passo 12

Agora, vamos verificar que rho(A) + nu(A) = n , onde rho(A) é o posto (rank) de A , nu(A) é a nulidade de A e n é o número de colunas de A (que é 5).
Encontramos que rho(A) = 2 (já que temos 2 colunas na base da imagem) e nu(A) = 3 (pois temos 3 vetores na base do núcleo). Então:
rho(A) + nu(A) = 2 + 3 = 5 = n

Resposta

Uma base para im A é:
1 2 5 3 , 1 -4 -1 -9
E uma base para NA é:
23 13 1 0 0 , -32 -12 0 1 0 , -16 16 0 0 1
E confirmamos que rho(A) + nu(A) = 5 , que é igual ao número de colunas de A .

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