Dada a matriz .
i. Calcule uma base para e para .
ii. Verifique que .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! O enunciado nos pede para encontrar uma base para a imagem de A (que é basicamente o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de A ) e para o núcleo de A (que são todos os vetores x que satisfazem A x = 0 ). Além disso, precisamos verificar a relação entre a classificação de A (rank) e a nulidade de A . Para isso, vamos precisar usar conceitos de matriz, operações elementares e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a base para a imagem de A . Para isso, precisamos determinar o espaço gerado pelas colunas de A . A melhor maneira de fazer isso é transformar A em sua forma escalonada por linhas (forma reduzida por linhas) usando operações elementares.
Observamos que as linhas 2 e 3 são iguais, então podemos eliminar a linha 3. Além disso, a linha 4 é múltiplo da linha 2, então também podemos eliminar a linha 4. Após essas eliminações, temos:
Com essa forma, podemos identificar as colunas que contêm os pivôs (as primeiras entradas não nulas de cada linha). Aqui, as colunas 1 e 2 são as que têm pivôs. Portanto, as colunas correspondentes na matriz original formam uma base para a imagem de A .
Então, uma base para im A é formada pelas colunas 1 e 2 de A :
1 2 5 3 , 1 -4 -1 -9
Passo 9
Agora, vamos encontrar uma base para o núcleo de [A), . Para isso, precisamos resolver o sistema . Com a matriz na forma escalonada reduzida, podemos escrever as equações: