Problema 6 Mostre que a matriz A=(ll1 & 2 3 & 2) é semelhante a matriz (cc4 & 0 0 & -1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa mostrar que a matriz A = 1 & 2 3 & 2 é semelhante à matriz 4 & 0 0 & -1 . Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre similaridade de matrizes e autovalores/autovetores. Para resolver, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores de A e construir uma matriz de mudança de base.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de A . Autovalores são valores escalares lambda que satisfazem a equação det(A - lambda I) = 0 , onde I é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a equação característica:
det(1 & 2 3 & 2 - lambda 1 & 0 0 & 1) = det1 - lambda & 2 3 & 2 - lambda
Calculando o determinante:
(1 - lambda)(2 - lambda) - (2 times 3) = (1 - lambda)(2 - lambda) - 6
= (2 - lambda - 2lambda + lambda^2) - 6 = lambda^2 - 3lambda - 4
Agora, resolvemos lambda^2 - 3lambda - 4 = 0 :
lambda = 3 pm raiz9 + 162 = 3 pm raiz252 = 3 pm 52
Então, os autovalores são:
lambda1 = 3 + 52 = 4 e lambda2 = 3 - 52 = -1

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para lambda1 = 4 :
Resolvemos (A - 4I)v = 0 :
1 - 4 & 2 3 & 2 - 4 x y = -3 & 2 3 & -2 x y = 0 0
Isso nos dá as equações:
-3x + 2y = 0 Rightarrow y = 32x
Então, um autovetor para lambda1 = 4 é v1 = 2 3 .
Para lambda2 = -1 :
Resolvemos (A + I)v = 0 :
1 + 1 & 2 3 & 2 + 1 x y = 2 & 2 3 & 3 x y = 0 0
Isso nos dá as equações:
2x + 2y = 0 Rightarrow y = -x
Então, um autovetor para lambda2 = -1 é v2 = 1 -1 .

Passo 5

Com os autovetores em mãos, formamos a matriz P com v1 e v2 como colunas:
P = 2 & 1 3 & -1
Agora, podemos construir a matriz diagonal D com os autovalores:
D = 4 & 0 0 & -1
Por definição de similaridade, temos que:
D = P^-1 A P
Isso mostra que A é semelhante a D .

Resposta

Portanto, mostramos que a matriz A = 1 & 2 3 & 2 é semelhante à matriz 4 & 0 0 & -1 usando os autovalores e autovetores encontrados.

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