Problema 9 Determine A^n, sendo A=(ll-3 & 4 -1 & 2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para determinar A^n , onde A é a matriz:
A = -3 & 4 -1 & 2
Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente potências de matrizes e diagonalização. Para resolver isso, a gente precisa encontrar os autovalores e autovetores da matriz A , diagonalizá-la e, por fim, calcular a potência A^n .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz A . Os autovalores lambda são encontrados resolvendo o polinômio característico:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade. Então, calculando:
A - lambda I = -3 - lambda & 4 -1 & 2 - lambda
O determinante dessa matriz é:
(-3 - lambda)(2 - lambda) - (4)(-1) = (lambda + 3)(lambda - 2) + 4
= lambda^2 + 3lambda - 2lambda - 6 + 4 = lambda^2 + lambda - 2
Então, temos a equação quadrática:
lambda^2 + lambda - 2 = 0
Resolvendo essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32
Portanto, os autovalores são:
lambda1 = 1 e lambda2 = -2

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para lambda1 = 1 :
Resolvemos (A - I)v = 0 :
-4 & 4 -1 & 1 v1 v2 = 0 0
Isso nos dá as equações:
-4v1 + 4v2 = 0 Rightarrow v1 = v2
Podemos escolher v2 = 1 , então o autovetor é:
v1 = 1 1
Para lambda2 = -2 :
Resolvemos (A + 2I)v = 0 :
-1 & 4 -1 & 4 v1 v2 = 0 0
Isso nos dá as equações:
- v1 + 4v2 = 0 Rightarrow v1 = 4v2
Podemos escolher v2 = 1 , então o autovetor é:
v2 = 4 1

Passo 4

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos diagonalizar a matriz A . A matriz P é formada pelos autovetores e D é a matriz diagonal com os autovalores:
P = 1 & 4 1 & 1 , D = 1 & 0 0 & -2
A relação de diagonalização é:
A = P D P^-1

Passo 5

Agora, para calcular A^n , usamos a propriedade da diagonalização:
A^n = P D^n P^-1
Como D é diagonal, elevar D a n é simples: basta elevar cada elemento da diagonal a n :
D^n = 1^n & 0 0 & (-2)^n = 1 & 0 0 & (-2)^n
Então, substituindo de volta:
A^n = P D^n P^-1 = 1 & 4 1 & 1 1 & 0 0 & (-2)^n P^-1

Passo 6

Para finalizar, precisamos calcular P^-1 . A inversa de P é:
P^-1 = 1det(P) 1 & -4 -1 & 1
Calculando o determinante de P :
det(P) = (1)(1) - (4)(1) = 1 - 4 = -3
Portanto:
P^-1 = 1-3 1 & -4 -1 & 1 = - 13 & 43 13 & -13
Agora, multiplicando todas as matrizes:
A^n = 1 & 4 1 & 1 1 & 0 0 & (-2)^n - 13 & 43 13 & -13
Fazendo as multiplicações:
Primeiro, multiplicamos P por D^n :
1 & 4 1 & 1 1 & 0 0 & (-2)^n = 1 cdot 1 + 4 cdot 0 & 1 cdot 0 + 4 cdot (-2)^n 1 cdot 1 + 1 cdot 0 & 1 cdot 0 + 1 cdot (-2)^n = 1 & 4 (-2)^n 1 & (-2)^n
Agora, multiplicamos esse resultado por P^-1 :
1 & 4 (-2)^n 1 & (-2)^n - 13 & 43 13 & -13
Realizando as multiplicações elemento a elemento:
1 cdot (-13) + 4 (-2)^n cdot (13) & 1 cdot (43) + 4 (-2)^n cdot (-13) 1 cdot (-13) + (-2)^n cdot (13) & 1 cdot (43) + (-2)^n cdot (-13)
Simplificando cada elemento:
A^n = -13 + 4 (-2)^n3 & 43 - 4 (-2)^n3 -13 + (-2)^n3 & 43 + (-2)^n3
Podemos fatorar 13 para simplificar:
A^n = 13 -1 + 4 (-2)^n & 4 - 4 (-2)^n -1 + (-2)^n & 4 + (-2)^n

Resposta

Portanto, a potência A^n é dada por:
A^n = 13 -1 + 4 (-2)^n & 4 - 4 (-2)^n -1 + (-2)^n & 4 + (-2)^n

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