Beleza, vamos lá! O problema pede para determinar A^n , onde A é a matriz:
A = -3 & 4 -1 & 2
Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente potências de matrizes e diagonalização. Para resolver isso, a gente precisa encontrar os autovalores e autovetores da matriz A , diagonalizá-la e, por fim, calcular a potência A^n .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz A . Os autovalores lambda são encontrados resolvendo o polinômio característico:
Resolvendo essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32
Portanto, os autovalores são:
lambda1 = 1 e lambda2 = -2
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para lambda1 = 1 :
Resolvemos (A - I)v = 0 :
-4 & 4 -1 & 1 v1 v2 = 0 0
Isso nos dá as equações:
-4v1 + 4v2 = 0 Rightarrow v1 = v2
Podemos escolher v2 = 1 , então o autovetor é:
v1 = 1 1
Para lambda2 = -2 :
Resolvemos (A + 2I)v = 0 :
-1 & 4 -1 & 4 v1 v2 = 0 0
Isso nos dá as equações:
- v1 + 4v2 = 0 Rightarrow v1 = 4v2
Podemos escolher v2 = 1 , então o autovetor é:
v2 = 4 1
Passo 4
Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos diagonalizar a matriz A . A matriz P é formada pelos autovetores e D é a matriz diagonal com os autovalores:
P = 1 & 4 1 & 1 , D = 1 & 0 0 & -2
A relação de diagonalização é:
A = P D P^-1
Passo 5
Agora, para calcular A^n , usamos a propriedade da diagonalização:
A^n = P D^n P^-1
Como D é diagonal, elevar D a n é simples: basta elevar cada elemento da diagonal a n :