Dada uma matriz , prove que uma (e apenas uma) das seguintes alternativas ocorre:
ou o sistema tem solução
seja qual for o vetor
w=[c y^1 vdots y^m ] in R^m ;
ou o sistema homogêneo A^top v=0 tem solução não-trivial com v^top w neq 0.
Passo 1
O enunciado trata da seguinte situação: temos uma matriz AinM(mtimes n,R) e um vetor winR^m. Queremos provar que exatamente uma das duas alternativas ocorre:
O sistema
A,u=w
é possível (isto é, w está na imagem de A).
2) Existe vneq 0 tal que
A^topv=0 e v^topwneq0
O conteúdo que vamos usar é o fato clássico de Álgebra Linear de que
ker(A^top) = l(Im(A)r)^perp subseteqR^m
e o Teorema da Decomposição Ortogonal em R^m:
R^m = Im(A);oplus;l(Im(A)r)^perp
Passo 2
Mostramos primeiro a relação entre núcleo de A^top e ortogonal de Im(A).
Para qualquer vinR^m e qualquer uinR^n,
v^topl(A,ur) = l(A^topvr)^topu
Logo, A^topv=0 se e somente se v^top(A,u)=0 para todo u, isto é, v é ortogonal a todo vetor de Im(A).
Portanto
Pelo Teorema da Decomposição Ortogonal em R^m, qualquer vetor winR^m pode ser escrito de modo único como
w = y+z, yinIm(A), ;; zinl(Im(A)r)^perp
Note que winIm(A) (caso 1) se e somente se a componente z for zero.
Passo 4
– Se z=0, então w=yinIm(A) e, por definição, existe u com A,u=y=w. Assim ocorre a alternativa 1.
– Se zneq0, então zin(Im(A))^perp=ker(A^top) e zneq0. Definimos v=z. Então