Dada uma matriz A in M(m times n, R), prove que uma (e apenas uma) das seguintes alternativas ocorre:
  1. ou o sistema A u=w tem solução
u=[c x^1 vdots x^n ] in R^n
seja qual for o vetor
w=[c y^1 vdots y^m ] in R^m ;
  1. ou o sistema homogêneo A^top v=0 tem solução não-trivial com v^top w neq 0.

Passo 1

O enunciado trata da seguinte situação: temos uma matriz AinM(mtimes n,R) e um vetor winR^m. Queremos provar que exatamente uma das duas alternativas ocorre:
  1. O sistema
A,u=w
é possível (isto é, w está na imagem de A).
2) Existe vneq 0 tal que
A^topv=0 e v^topwneq0
O conteúdo que vamos usar é o fato clássico de Álgebra Linear de que
ker(A^top) = l(Im(A)r)^perp subseteqR^m
e o Teorema da Decomposição Ortogonal em R^m:
R^m = Im(A);oplus;l(Im(A)r)^perp

Passo 2

Mostramos primeiro a relação entre núcleo de A^top e ortogonal de Im(A).
Para qualquer vinR^m e qualquer uinR^n,
v^topl(A,ur) = l(A^topvr)^topu
Logo, A^topv=0 se e somente se
v^top(A,u)=0 para todo u, isto é,
v é ortogonal a todo vetor de Im(A).
Portanto
ker(A^top) = vinR^mmid vperp Im(A) = l(Im(A)r)^perp

Passo 3

Pelo Teorema da Decomposição Ortogonal em R^m, qualquer vetor winR^m pode ser escrito de modo único como
w = y+z, yinIm(A), ;; zinl(Im(A)r)^perp
Note que winIm(A) (caso 1) se e somente se a componente z for zero.

Passo 4

– Se z=0, então w=yinIm(A) e, por definição, existe u com A,u=y=w. Assim ocorre a alternativa 1.
– Se zneq0, então zin(Im(A))^perp=ker(A^top) e zneq0. Definimos v=z. Então
A^topv=0 e v^topw = z^top(y+z) = underbracez^topy=0 + z^topz = |z|^2 neq0
Logo ocorre a alternativa 2.

Passo 5

Concluímos que exatamente uma das duas situações se verifica:
  • Se winIm(A), há solução de Au=w.
  • Caso contrário, wnotinIm(A) e então surge um vneq0 em ker(A^top) com v^topwneq0.

Resposta

As alternativas são excludentes e cobrem todos os casos, como acabamos de mostrar.

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