Dada uma matriz , prove que uma (e apenas uma) das seguintes alternativas ocorre:
ou o sistema tem solução
seja qual for o vetor
w=[c y^1 vdots y^m ] in R^m ;
ou o sistema homogêneo A^top v=0 tem solução não-trivial com v^top w neq 0.
Interprete a questão 6-1) em termos de transformações lineares e de suas adjuntas: mais precisamente, prove que, dada uma transformação linear A: R^n R^m, uma (e apenas uma) das seguintes alternativas ocorre:
ou A é sobrejetiva,
ou A^* não é injetiva e ker A^* é ortogonal a Im A.
Passo 1
O enunciado é uma versão do “Fredholm alternative” para matrizes reais. Em linguagem de matrizes, diz que dado e um vetor arbitrário , exatamente um dos dois ocorre:\r
\r
o sistema \r
\r
é solucionável (isto é, pertence à imagem de ),\r
\r
2) existe um vetor não trivial com \r
\r
e simultaneamente .\r
\r
Em termos de transformações lineares, e seu adjunto , isso equivale a provar que ou é sobrejetiva, ou não é injetiva e é ortogonal a .
Passo 2
Definimos o subespaço imagem \r
Im A=A, u: uin R^nsubseteq R^m\r
e o núcleo do adjunto \r
ker A^top= vin R^m:A^top v=0\r
Para todo vinker A^top e todo zinIm A existem u tais que z=A u, logo\r
v^top z= v^top(A u)=(A^top v)^top u=0\r
Portanto \r
ker A^top=(Im A)^perp
Passo 3
Suponha que o sistema A u= w seja solucionável, ou seja, winIm A. Então para qualquer vinker A^top temos\r
v^top w=0,\r
portanto não existe vneq0 em ker A^top com v^top wneq0. Logo, na situação “ winIm A”, somente a opção (1) ocorre.
Passo 4
Agora suponha que wnotinIm A. Como Im A é um subespaço próprio de R^m, seu ortogonal (Im A)^perp=ker A^top contém algum vetor não nulo v. Escrevendo w= z+ zperp com zinIm A e zperpin(Im A)^perp, temos v^top w= v^top zperp=| v|^2>0. Em particular\r
v^top wneq0e A^top v=0,\r
o que impede qualquer solução de A u= w. Assim, na situação “ wnotinIm A”, somente a opção (2) ocorre.
Passo 5
Concluímos que, para cada w, ou ele está em Im A (caso em que A u= w é solucionável) ou existe vneq0 em ker A^top com v^top wneq0. Essas duas alternativas são mutuamente exclusivas e exaustivas.
Passo 6
Em termos de transformações lineares e adjuntas, escrevemos A^*=A^top. Então:\r
Se A é sobrejetiva (Im A= R^m), segue ker A^*=(Im A)^perp=0, isto é, A^* é injetiva.\r
Se A não é sobrejetiva, então Im Asubsetneqq R^m e ker A^*=(Im A)^perp contém vetores não nulos. Logo A^* não é injetiva e ker A^* é ortogonal a Im A.\r
\r
Dessa forma provamos exatamente uma das alternativas: ou A é sobrejetiva, ou A^* não é injetiva e ker A^*perpIm A.
Resposta
Foi demonstrado que, para qualquer transformação linear A: R^nto R^m, exatamente uma das alternativas ocorre:\r
A é sobrejetiva (ou seja, A u= w tem solução para todo w), ou \r