Dada uma matriz , prove que uma (e apenas uma) das seguintes alternativas ocorre:
ou o sistema tem solução
seja qual for o vetor
w=[c y^1 vdots y^m ] in R^m ;
ou o sistema homogêneo A^top v=0 tem solução não-trivial com v^top w neq 0.
Se A^* w=u tem uma solução e A v=0, podemos afirmar que v é perpendicular a u?
Passo 1
O enunciado é uma forma do Alternativa de Fredholm para matrizes reais. Temos Ain M(mtimes n, R) e um vetor arbitrário win R^m. Precisamos mostrar que exatamente uma das opções a seguir vale:
1. Para todo w existe uin R^n tal que
A u= w
2. Existe vneq0 tal que
A^top v=0 e v^top wneq0
Para isso vamos usar os espaços coluna e núcleo de A e A^top, bem como a relação de ortogonalidade entre eles.
Passo 2
Mostramos primeiro a relação
Null(A^top) ;=;l(Ran>=(A)r)^perp
De fato, se vinNull(A^top) então A^top v=0 e, para qualquer uin R^n,
v^topl(A ur) = (A^top v)^top u = 0
Logo v é ortogonal a todo vetor da forma A u, isto é, a Ran>=(A).
– Se w2=0, então winRan>=(A) e existe u tal que A u= w. Assim a opção 1 ocorre e não há vneq0 com A^top v=0 e v^top wneq0.
– Se w2neq0, então wnotinRan>=(A), logo o sistema A u= w não tem solução, mas w2inNull(A^top) e
w2^top w = w2^top( w1+ w2) =| w2|^2neq0,
logo a opção 2 ocorre com v= w2.
Isso prova que exatamente uma das duas alternativas se verifica.
Passo 3
Para a segunda pergunta, note que em matrizes reais A^*=A^top. Se existe solução de
A^* w= u,
então uinRan>=(A^top). Mas já sabemos que
Null(A) =l(Ran>=(A^top)r)^perp
Assim, qualquer v tal que A v=0 pertence a Null(A) e é ortogonal a todo uinRan>=(A^top). Em particular,
v^top u = 0,
ou seja, v é perpendicular a u.
Resposta
Sim. Se A^* w= u tem solução e A v=0, então vperp u.