Determine os valores singulares da transformação linear A: R^2 R^3 dada por A(x1, x2)=(x1, x2, a x1+b x2), onde a, b são números reais não-nulos.
Determine a pseudo-inversa dessa transformação linear.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
A:R^2toR^3, A(x1,x2)=(x1,;x2,;a,x1+b,x2),
com a,bneq0. Precisamos achar
  1. os valores singulares de A, que são as raízes quadradas dos autovalores de A^T A;
  2. a pseudoinversa de Moore–Penrose de A, sabendo que A tem posto máximo ( rank,A=2), então
A^+=(A^T A)^-1A^T

Passo 2

Escrevemos a matriz de na base canônica:
Então

Passo 3

Para encontrar os autovalores de A^T A resolvemos
detl(A^T A-lambda Ir) =det! 1+a^2-lambda & a,b a,b & 1+b^2-lambda =0
O traço é
tr=2+a^2+b^2
e o determinante é
det=1+a^2+b^2.
Logo o polinômio característico é
lambda^2-(2+a^2+b^2)lambda+(1+a^2+b^2)=0
O discriminante é (a^2+b^2)^2, de onde os autovalores são
lambda1=2+a^2+b^2+(a^2+b^2)2=1+(a^2+b^2), lambda2=2+a^2+b^2-(a^2+b^2)2=1

Passo 4

Os valores singulares de A são
sigma1=raizlambda1=raiz1+a^2+b^2, sigma2=raizlambda2=1

Passo 5

Como rank,A=2, a pseudoinversa é
A^+=(A^T A)^-1A^T
Calculamos primeiro a inversa de
A^T A = 1+a^2 & a,b a,b & 1+b^2 , det(A^T A)=1+a^2+b^2
Assim
(A^T A)^-1 =11+a^2+b^2 1+b^2 & -a,b - a,b & 1+a^2

Passo 6

Finalmente, usando
A^T=1&0&a0&1&b,
temos
A^+ =11+a^2+b^2 1+b^2 & -a,b - a,b & 1+a^2 1&0&a0&1&b
Multiplicando as matrizes obtemos
A^+ =11+a^2+b^2 1+b^2 & -a,b & a - a,b & 1+a^2 & b

Resposta

Os valores singulares de A são
sigma1=raiz1+a^2+b^2, sigma2=1
A pseudoinversa de A é
A^+ =11+a^2+b^2 1+b^2 & -a,b & a - a,b & 1+a^2 & b

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