Dados os pontos , determine o ponto tal que seja um paralelogramo. Represente graficamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o ponto de modo que o quadrilátero seja um paralelogramo. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre vetores e propriedades dos paralelogramos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um paralelogramo. Em um paralelogramo, os lados opostos são iguais e paralelos. Isso significa que os vetores correspondentes desses lados também são iguais.
Passo 3
Vamos identificar os vetores que formam os lados do paralelogramo . Vamos considerar que e são os lados opostos que devem ser iguais.
Para encontrar o vetor , subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de B :
AB = B - A = (2 - (-1), 1 - 12, 3 - 2) = (3, -11, 1)
Passo 4
Como AB deve ser igual a DC , temos:
DC = AB = (3, -11, 1)
Sabemos que DC = C - D . Então, podemos escrever:
C - D = (3, -11, 1)
Passo 5
Agora, vamos isolar D na equação:
D = C - AB = (1, -2, 4) - (3, -11, 1) = (1 - 3, -2 - (-11), 4 - 1)
D = (-2, 9, 3)
Resposta
O ponto D que faz com que ABDC seja um paralelogramo é D = (-2, 9, 3) .