Dada uma matriz A inversível, de ordem n, mostre que o determinante da matriz inversa de A é igual ao inverso do determinante de A.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se A é uma matriz invertível de ordem n, então
detl(A^-1r) = l(det(A)r)^-1
O conteúdo principal aqui é a propriedade de determinantes de produto de matrizes, a saber:
det(BC) = det(B),det(C)

Passo 2

Como A é invertível, temos
A , A^-1 = In,
onde In é a matriz identidade de ordem n.

Passo 3

Aplicando determinante ao produto, pela propriedade de multiplicação,
detl(A,A^-1r) = det(A),detl(A^-1r)

Passo 4

Por outro lado, det(In)=1. Logo,
det(A),detl(A^-1r) = detl(A,A^-1r) = det(In) = 1

Passo 5

Basta isolar det(A^-1) na equação acima:
detl(A^-1r) = 1det(A) = l(det(A)r)^-1

Resposta

detl(A^-1r) = l(det(A)r)^-1

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