Reduza as matrizes abaixo à forma LRFE e determine o posto e a nulidade das mesmas.
(a) A=[cccc1 & 1 & 1 & 3 1 & 0 & -1 & 1 0 & 1 & 2 & 2]

Passo 1

O enunciado pede para reduzir a matriz
A = 1 & 1 & 1 & 3 1 & 0 & -1 & 1 0 & 1 & 2 & 2
à sua forma reduzida por linhas (LRFE, também chamada de RREF) e, a partir daí, determinar o posto (número de pivôs) e a nulidade (dimensão do espaço nulo) de A. Vamos aplicar operações elementares de linha para chegar à forma escalonada reduzida.

Passo 2

Primeiro, usamos L2 L2 - L1 para zerar o primeiro elemento de L2:
1 & 1 & 1 & 3 1 & 0 & -1 & 1 0 & 1 & 2 & 2 ;xrightarrowL2 - L1; 1 & 1 & 1 & 3 0 & -1 & -2 & -2 0 & 1 & 2 & 2

Passo 3

Em seguida, multiplicamos L2 por -1 para ter um pivô positivo e observamos que L2 e L3 ficam iguais:
1 & 1 & 1 & 3 0 & -1 & -2 & -2 0 & 1 & 2 & 2 ;xrightarrowL2 -L2; 1 & 1 & 1 & 3 0 & 1 & 2 & 2 0 & 1 & 2 & 2

Passo 4

Agora zeramos L3 subtraindo L2:
1 & 1 & 1 & 3 0 & 1 & 2 & 2 0 & 1 & 2 & 2 ;xrightarrowL3 L3 - L2; 1 & 1 & 1 & 3 0 & 1 & 2 & 2 0 & 0 & 0 & 0

Passo 5

Por fim, eliminamos o 1 acima do pivô de L2 em L1, aplicando L1 L1 - L2:
1 & 1 & 1 & 3 0 & 1 & 2 & 2 0 & 0 & 0 & 0 ;xrightarrowL1 - L2; 1 & 0 & -1 & 1 0 & 1 & 2 & 2 0 & 0 & 0 & 0
Este é exatamente o LRFE (RREF) de A.

Passo 6

Na forma reduzida vemos pivôs nas colunas 1 e 2. Logo
posto(A) = 2
Como A tem 4 colunas, a nulidade (dimensão do núcleo) vem de
nulidade(A) = 4 - posto(A) = 4 - 2 = 2

Resposta

LRFE de A:
1 & 0 & -1 & 1 0 & 1 & 2 & 2 0 & 0 & 0 & 0 ,
posto (A)=2, nulidade (A)=2.

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