1. O determinante \left|\begin{array}{cc}\operatorname{sen} \frac{\pi}{8} & -\cos \frac{\pi}{8} \\\ \operatorname{sen} \frac{\pi}{8} & \cos \frac{\pi}{8}\end{array}\right| é igual a:
    a) -\frac{\sqrt{3}}{2};
    b) 0 ;
    c) \frac{\sqrt{3}}{2};
    d) \frac{\sqrt{2}}{2};
    e) 1 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
\left|\begin{array}{cc} \sin \dfrac{\pi}{8} & -\cos \dfrac{\pi}{8} \\\ \sin \dfrac{\pi}{8} & \cos \dfrac{\pi}{8} \end{array}\right|
e escolher a alternativa correta entre:
a) -\dfrac{\sqrt{3}}{2}; b) 0; c) \dfrac{\sqrt{3}}{2}; d) \dfrac{\sqrt{2}}{2}; e) 1.
Informações dadas:
  • Entrada a_{11}=\sin\!\dfrac{\pi}{8}.
  • Entrada a_{12}=-\cos\!\dfrac{\pi}{8}.
  • Entrada a_{21}=\sin\!\dfrac{\pi}{8}.
  • Entrada a_{22}=\cos\!\dfrac{\pi}{8}.

Passo 2

Recordando a fórmula do determinante de uma matriz 2\times2: para
\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix}
temos
\det = ad - bc.
Aqui, fazendo a correspondência a=\sin\!\dfrac{\pi}{8}, b=-\cos\!\dfrac{\pi}{8}, c=\sin\!\dfrac{\pi}{8}, d=\cos\!\dfrac{\pi}{8}, substitui-se na fórmula:
\det = \left(\sin\!\dfrac{\pi}{8}\right)\left(\cos\!\dfrac{\pi}{8}\right) - \left(-\cos\!\dfrac{\pi}{8}\right)\left(\sin\!\dfrac{\pi}{8}\right).

Passo 3

Simplificando a expressão obtida:
\det = \sin\!\dfrac{\pi}{8}\cos\!\dfrac{\pi}{8} + \cos\!\dfrac{\pi}{8}\sin\!\dfrac{\pi}{8} = 2\sin\!\dfrac{\pi}{8}\cos\!\dfrac{\pi}{8}.
Agora usamos a identidade trigonométrica fundamental para ângulo duplo: para qualquer x,
\sin(2x)=2\sin x\cos x.
Esta identidade vem diretamente da fórmula de adição de ângulos:
\sin(2x)=\sin(x+x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x.

Passo 4

Aplicando a identidade com x=\dfrac{\pi}{8}, obtemos
\det = \sin\!\left(2\cdot\dfrac{\pi}{8}\right)=\sin\!\dfrac{\pi}{4}.
O valor de \sin\!\dfrac{\pi}{4} (ângulo de 45^\circ) é conhecido, pois no círculo unitário as coordenadas do ponto correspondente são \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right). Portanto
\sin\!\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 5

Comparando com as alternativas fornecidas, o valor \dfrac{\sqrt{2}}{2} corresponde à alternativa d).

Resposta

d) \dfrac{\sqrt{2}}{2}

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