(3,0 pontos) Considere o problema de maximizar
sujeito a
pelo método de Lagrange.
(a) ( 1,0 ponto) Mostre que a qualificação de restrição é satisfeita.
(b) (1,0 ponto) Encontre o candidato a solução do problema, ou seja, a solução para as condições de primeira ordem.
(c) ( 1,0 ponto) Qual o impacto de um aumento marginal em
sobre o valor de
? Qual a relação desse impacto com o multiplicador de Lagrange?
(a) ( 1,0 ponto) Mostre que a qualificação de restrição é satisfeita.
(b) (1,0 ponto) Encontre o candidato a solução do problema, ou seja, a solução para as condições de primeira ordem.
(c) ( 1,0 ponto) Qual o impacto de um aumento marginal em
Passo 1
O enunciado pede para maximizar
sujeito à restrição
O conteúdo é o método de multiplicadores de Lagrange com qualificação de restrição e uso do teorema do envelope para interpretar o multiplicador. Precisamos (i) mostrar que a restrição é regular, (ii) montar as condições de primeira ordem ∇u
∇g, (iii) resolver para
, e (iv) relacionar
com λ.
Passo 2
Para a qualificação de restrição consideramos
O gradiente é
que nunca é o vetor zero. Portanto, a restrição é regular em todo ponto, satisfazendo a qualificação de restrição.
Passo 3
Montamos o lagrangiano
Calculamos as derivadas parciais:
As condições de primeira ordem são
além de
.
Passo 4
Defina
; então
. Das FOCs obtemos
Multiplicando a segunda por
:
A solução positiva é
, logo
e da restrição
Passo 5
O multiplicador vale
Pelo teorema do envelope, o impacto marginal de
sobre o valor ótimo é
Isso mostra que o multiplicador de Lagrange é justamente a taxa marginal de variação do valor ótimo em relação a
.
Resposta
(a) A qualificação de restrição vale pois
.
(b) O candidato ótimo é
(b) O candidato ótimo é
(c) O impacto marginal é
, que coincide com o multiplicador
.