(3,0 pontos) Considere o problema de maximizar u(x, y)=(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{2} sujeito a x+3 y=z pelo método de Lagrange.
(a) ( 1,0 ponto) Mostre que a qualificação de restrição é satisfeita.
(b) (1,0 ponto) Encontre o candidato a solução do problema, ou seja, a solução para as condições de primeira ordem.
(c) ( 1,0 ponto) Qual o impacto de um aumento marginal em z sobre o valor de u\left(x^{*}, y^{*}\right) ? Qual a relação desse impacto com o multiplicador de Lagrange?

Passo 1

O enunciado pede para maximizar
u(x,y) = \bigl(\sqrt{x} + \sqrt{y}\bigr)^{2}
sujeito à restrição
x + 3y = z.
O conteúdo é o método de multiplicadores de Lagrange com qualificação de restrição e uso do teorema do envelope para interpretar o multiplicador. Precisamos (i) mostrar que a restrição é regular, (ii) montar as condições de primeira ordem ∇u =\lambda ∇g, (iii) resolver para (x^*,y^*), e (iv) relacionar d u^*/dz com λ.

Passo 2

Para a qualificação de restrição consideramos
g(x,y) = x + 3y - z.
O gradiente é
\displaystyle \nabla g(x,y) = (1,\;3),
que nunca é o vetor zero. Portanto, a restrição é regular em todo ponto, satisfazendo a qualificação de restrição.

Passo 3

Montamos o lagrangiano
\mathcal{L}(x,y,\lambda) = (\sqrt{x}+\sqrt{y})^{2} - \lambda\,(x+3y - z).
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial u}{\partial x} = 1 + \sqrt{\frac{y}{x}}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = 1 + \sqrt{\frac{x}{y}}.
As condições de primeira ordem são
1 + \sqrt{\frac{y}{x}} = \lambda, \qquad 1 + \sqrt{\frac{x}{y}} = 3\lambda,
além de x+3y=z.

Passo 4

Defina t = \sqrt{y/x}; então \sqrt{x/y}=1/t. Das FOCs obtemos
1 + t = \lambda, \qquad 1 + \frac1t = 3\lambda = 3(1+t).
Multiplicando a segunda por t:
t + 1 = 3t(1+t) = 3t + 3t^{2} \;\Longrightarrow\; 3t^{2} + 2t - 1 = 0.
A solução positiva é t = 1/3, logo
\frac{y}{x} = \Bigl(\tfrac13\Bigr)^{2} = \tfrac{1}{9},
e da restrição
x + 3y = x + 3\bigl(\tfrac{x}{9}\bigr) = \tfrac{4}{3}x = z \;\Longrightarrow\; x^{*} = \frac{3}{4}\,z, \quad y^{*} = \frac{x^{*}}{9} = \frac{1}{12}\,z.

Passo 5

O multiplicador vale
\lambda = 1 + t = 1 + \frac13 = \frac{4}{3}.
Pelo teorema do envelope, o impacto marginal de z sobre o valor ótimo é
\frac{d\,u(x^{*},y^{*})}{dz} = \lambda = \frac{4}{3}.
Isso mostra que o multiplicador de Lagrange é justamente a taxa marginal de variação do valor ótimo em relação a z.

Resposta

(a) A qualificação de restrição vale pois \nabla g(x,y)=(1,3)\neq(0,0).
(b) O candidato ótimo é
x^{*} = \frac{3}{4}\,z, \quad y^{*} = \frac{1}{12}\,z.
(c) O impacto marginal é d u^{*}/dz = 4/3, que coincide com o multiplicador \lambda=4/3.

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