Determine os valores de
para os quais o sistema admite:
(a) solução única;
(b) infinitas soluções;
(c) nenhuma solução.
(a) solução única;
(b) infinitas soluções;
(c) nenhuma solução.
Passo 1
O enunciado dá o sistema
e pede para determinar os valores de
para os quais o sistema admite:
(a) solução única;
(b) infinitas soluções;
(c) nenhuma solução.
(a) solução única;
(b) infinitas soluções;
(c) nenhuma solução.
As informações relevantes são:
- As duas equações do sistema estão explícitas (peguei-as do enunciado).
- A incógnita a variar é
. - Precisa-se estudar o número de soluções do sistema em função de
.]
Passo 2
Vamos manipular a segunda equação para ver sua relação com a primeira. A segunda equação é
Fatorando
do lado esquerdo obtemos a forma
Subtraindo
dos dois lados, ou reescrevendo, fica
Essa forma é muito útil porque diz que, para qualquer solução
, vale a igualdade acima.
Passo 3
Interpretação lógica da equação
:
-
Se
, pode-se dividir por e obtemos Ou seja, quandoa segunda equação é exatamente a mesma que a primeira. Então o sistema passa a ter duas equações idênticas, que impõem apenas a condição . -
Se
, substituindo na segunda equação temos isto é,, uma identidade verdadeira para quaisquer . Nesse caso a segunda equação não impõe nenhuma restrição nova — sobra apenas a primeira equação .
Em ambas as situações (
ou
) o sistema reduz-se a uma única equação
.
Passo 4
Consequência prática: uma única equação linear em duas incógnitas normalmente tem infinitas soluções. Para ver isso de forma concreta, parametrize as soluções de
. Escolhendo um parâmetro
para
,
Para cada
obtemos um par
que satisfaz
. Assim há infinitas soluções (uma família paramétrica).
Portanto para qualquer
o sistema tem infinitas soluções: quando
as duas equações são idênticas; quando
resta apenas a primeira equação.
Passo 5
Verificação alternativa (curtinha) usando determinante da matriz dos coeficientes: a matriz dos coeficientes é
O determinante é
Como o determinante é
para todo
, a matriz nunca é invertível e portanto o sistema nunca tem solução única (caso de matriz invertível daria solução única). Isso confirma que não existe
que produza solução única.]
Passo 6
Verificação de inexistência de solução: para haver ausência de solução precisaríamos que as duas equações fossem contraditórias (por exemplo que as linhas dos coeficientes sejam múltiplos mas o termo independente não seja o mesmo múltiplo). Aqui, quando
a segunda equação é exatamente
vezes a primeira, inclusive o termo independente satisfaz a mesma proporção (
); quando
a segunda é
. Portanto nunca há contradição e nunca há sistema impossível. Logo não existe
que torne o sistema sem solução.
Resposta
(a) nenhum
(b) todo
(c) nenhum
(b) todo
(c) nenhum