Determine os valores de a \in \mathbb{R} para os quais o sistema admite:
(a) solução única;
(b) infinitas soluções;
(c) nenhuma solução.
\left\{\begin{array}{l} x+y=1 \\\ a x+a y=a \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} x+y=1\\[4pt] a x+a y=a \end{cases}
e pede para determinar os valores de a\in\mathbb{R} para os quais o sistema admite:
(a) solução única;
(b) infinitas soluções;
(c) nenhuma solução.
As informações relevantes são:
  • As duas equações do sistema estão explícitas (peguei-as do enunciado).
  • A incógnita a variar é a\in\mathbb{R}.
  • Precisa-se estudar o número de soluções do sistema em função de a.]

Passo 2

Vamos manipular a segunda equação para ver sua relação com a primeira. A segunda equação é
a x + a y = a.
Fatorando a do lado esquerdo obtemos a forma
a(x+y)=a.
Subtraindo a dos dois lados, ou reescrevendo, fica
a(x+y-1)=0.
Essa forma é muito útil porque diz que, para qualquer solução (x,y), vale a igualdade acima.

Passo 3

Interpretação lógica da equação a(x+y-1)=0:
  • Se a\neq 0, pode-se dividir por a e obtemos
    x+y-1=0\quad\Longleftrightarrow\quad x+y=1.
    Ou seja, quando a\neq 0 a segunda equação é exatamente a mesma que a primeira. Então o sistema passa a ter duas equações idênticas, que impõem apenas a condição x+y=1.
  • Se a=0, substituindo na segunda equação temos
    0\cdot x + 0\cdot y = 0,
    isto é, 0=0, uma identidade verdadeira para quaisquer x,y. Nesse caso a segunda equação não impõe nenhuma restrição nova — sobra apenas a primeira equação x+y=1.
Em ambas as situações ( a\neq 0 ou a=0 ) o sistema reduz-se a uma única equação x+y=1.

Passo 4

Consequência prática: uma única equação linear em duas incógnitas normalmente tem infinitas soluções. Para ver isso de forma concreta, parametrize as soluções de x+y=1. Escolhendo um parâmetro t\in\mathbb{R} para y,
y=t,\qquad x=1-t.
Para cada t obtemos um par (x,y)=(1-t,t) que satisfaz x+y=1. Assim há infinitas soluções (uma família paramétrica).
Portanto para qualquer a\in\mathbb{R} o sistema tem infinitas soluções: quando a\neq 0 as duas equações são idênticas; quando a=0 resta apenas a primeira equação.

Passo 5

Verificação alternativa (curtinha) usando determinante da matriz dos coeficientes: a matriz dos coeficientes é
\begin{pmatrix} 1 & 1\\[4pt] a & a \end{pmatrix}.
O determinante é
\det = 1\cdot a - 1\cdot a = 0.
Como o determinante é 0 para todo a, a matriz nunca é invertível e portanto o sistema nunca tem solução única (caso de matriz invertível daria solução única). Isso confirma que não existe a que produza solução única.]

Passo 6

Verificação de inexistência de solução: para haver ausência de solução precisaríamos que as duas equações fossem contraditórias (por exemplo que as linhas dos coeficientes sejam múltiplos mas o termo independente não seja o mesmo múltiplo). Aqui, quando a\neq 0 a segunda equação é exatamente a vezes a primeira, inclusive o termo independente satisfaz a mesma proporção ( a = a\cdot 1 ); quando a=0 a segunda é 0=0. Portanto nunca há contradição e nunca há sistema impossível. Logo não existe a que torne o sistema sem solução.

Resposta

(a) nenhum a\in\mathbb{R}
(b) todo a\in\mathbb{R}
(c) nenhum a\in\mathbb{R}

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