Dada a matriz A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}, onde
a_{i j}=\left\{\begin{array}{cc}i+j, & \text { se } i \geq j \\\\ 0, & \text { se } i<j\end{array}\right., calcule a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o da diagonal secundária.

Passo 1

O enunciado define a matriz A=(a_{ij})_{3\times3} em que
a_{ij} = \begin{cases} i+j, & \text{se }i\ge j,\\\\ 0, & \text{se }i<j. \end{cases}
Queremos o produto dos elementos da diagonal principal, o produto dos da diagonal secundária e depois a diferença entre esses produtos.

Passo 2

Para visualizar, montamos A linha a linha:
  • Linha i=1: a_{11}=1+1=2, a_{12}=0, a_{13}=0.
  • Linha i=2: a_{21}=2+1=3, a_{22}=2+2=4, a_{23}=0.
  • Linha i=3: a_{31}=3+1=4, a_{32}=3+2=5, a_{33}=3+3=6.
Assim,
A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 3 & 4 & 0\\\\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}.

Passo 3

Os elementos da diagonal principal são a_{11}=2, a_{22}=4 e a_{33}=6. Portanto, o produto da diagonal principal é
P_{\text{princ}} = 2 \times 4 \times 6 = 48.

Passo 4

Os elementos da diagonal secundária são a_{13}=0, a_{22}=4 e a_{31}=4. Logo, o produto da diagonal secundária é
P_{\text{sec}} = 0 \times 4 \times 4 = 0.

Passo 5

A diferença entre o produto da diagonal principal e o da secundária é
P_{\text{princ}} - P_{\text{sec}} = 48 - 0 = 48.

Resposta

48

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