Determine as seguintes matrizes:
C=\left(c_{i j}\right)_{3 \times 3} tal que c_{i j}=\left\{\begin{array}{ll}i^{2}-j^{2}, & \text { se } i+j \text { é par } \\\ i^{2}+j^{2}, & \text { se } i+j \text { é ímpar }\end{array}\right.ééí.

Passo 1

O enunciado pede a matriz C=(c_{ij})_{3\times3}\) cujos elementos são dados por \[c_{ij} = \begin{cases} i^{2} - j^{2}, & \text{se \(i+j é par},\ i^{2} + j^{2}, & se i+j é ímpar. \end{cases}]
O conteúdo aqui é aplicar a definição peça-por-peça para cada par de índices (i,j), com i,j\in\{1,2,3\}.

Passo 2

Para cada entrada c_{ij} verificamos a paridade de i+j. Se i+j for par, usamos \;i^{2}-j^{2}; caso contrário, usamos \;i^{2}+j^{2}. Em seguida, calculamos i^{2} e j^{2} e aplicamos a operação correspondente.

Passo 3

Cálculo da primeira linha i=1:
  • j=1: 1+1=2 é par, logo
c_{11}=1^{2}-1^{2}=0.
  • j=2: 1+2=3 é ímpar, logo
c_{12}=1^{2}+2^{2}=1+4=5.
  • j=3: 1+3=4 é par, logo
c_{13}=1^{2}-3^{2}=1-9=-8.

Passo 4

Cálculo da segunda linha i=2:
  • j=1: 2+1=3 é ímpar, logo
c_{21}=2^{2}+1^{2}=4+1=5.
  • j=2: 2+2=4 é par, logo
c_{22}=2^{2}-2^{2}=4-4=0.
  • j=3: 2+3=5 é ímpar, logo
c_{23}=2^{2}+3^{2}=4+9=13.

Passo 5

Cálculo da terceira linha i=3:
  • j=1: 3+1=4 é par, logo
c_{31}=3^{2}-1^{2}=9-1=8.
  • j=2: 3+2=5 é ímpar, logo
c_{32}=3^{2}+2^{2}=9+4=13.
  • j=3: 3+3=6 é par, logo
c_{33}=3^{2}-3^{2}=9-9=0.

Resposta

A matriz C é
C = \begin{pmatrix} 0 & 5 & -8\\\\ 5 & 0 & 13\\\\ 8 & 13 & 0 \end{pmatrix}.

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