Dada a matriz A=\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\\\ 1 & 4\end{array}\right], mostre que ela possui um autovalor único e determine seu auto-subespaço.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix}2 & -1 \\[6pt] 1 & 4\end{pmatrix}
e pede para mostrar que ela possui um único autovalor e determinar o seu auto-subespaço.
O conteúdo necessário é cálculo de polinômio característico para encontrar autovalores, e depois resolver (A-\lambda I)v=0 para achar o auto-subespaço.]

Passo 2

Calcular o polinômio característico de A. Montamos
\det(A - \lambda I) =\det\!\begin{pmatrix}2-\lambda & -1 \\[3pt] 1 & 4-\lambda\end{pmatrix} =(2-\lambda)(4-\lambda)-(-1)\cdot1.
Expandindo,
(2-\lambda)(4-\lambda)=\lambda^2-6\lambda+8,
então
\det(A-\lambda I)=\lambda^2-6\lambda+8 + 1 =\lambda^2-6\lambda+9.]

Passo 3

Fatoramos o polinômio característico:
\lambda^2-6\lambda+9=(\lambda-3)^2.
Isso mostra que o único autovalor (com multiplicidade algébrica 2) é
\lambda=3.

Passo 4

Para encontrar o auto-subespaço associado a \lambda=3, resolvemos
(A-3I)v=0 \quad\text{com}\quad A-3I=\begin{pmatrix}2-3 & -1 \\[3pt] 1 & 4-3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1 & -1 \\[3pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
A única equação não trivial é
- x - y = 0 \;\Longrightarrow\; x + y = 0 \;\Longrightarrow\; y = -x.
Logo, um vetor genérico do auto-subespaço é
v=\begin{pmatrix}x \\\\ -x\end{pmatrix} =x\begin{pmatrix}1 \\\\ -1\end{pmatrix}.
Isso mostra que o auto-subespaço é de dimensão 1 e gerado por \bigl(1,-1\bigr)^{T}.]

Resposta

O único autovalor de A é \lambda=3 (multiplicidade algébrica 2) e o seu auto-subespaço é
E_{3}=\bigl\{\,x(1,-1)^{T} \mid x\in\mathbb{R}\bigr\}.

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