Questão 1: Responda:
( 4 pts ) Resolva o sistema, usando a regra de Cramer \left\{\begin{array}{l}-x+2 y+z=1 \\\\ 2 x+y=2 \\\ x+y-5 z=5\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\begin{cases} -x + 2y + z = 1,\\\\ 2x + y + 0\cdot z = 2,\\\ x + y - 5z = 5, \end{cases}
e pede para resolver usando a regra de Cramer. A regra de Cramer diz que, se D é o determinante da matriz de coeficientes e D_x,D_y,D_z são os determinantes obtidos substituindo em cada caso a coluna dos coeficientes de x,y,z pelo vetor de termos independentes, então
x = \frac{D_x}{D},\quad y = \frac{D_y}{D},\quad z = \frac{D_z}{D}.

Passo 2

Montamos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & -5 \end{pmatrix}
e calculamos
D = \det(A) = -1\cdot\det\!\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 1 & -5\end{pmatrix} -2\cdot\det\!\begin{pmatrix}2 & 0\\\ 1 & -5\end{pmatrix} +1\cdot\det\!\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix}.
Agora os menores:
\det\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 1 & -5\end{pmatrix} = -5,\quad \det\begin{pmatrix}2 & 0\\\ 1 & -5\end{pmatrix} = -10,\quad \det\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix} = 1.
Logo
D = -1\cdot(-5) - 2\cdot(-10) + 1\cdot1 = 5 + 20 + 1 = 26.

Passo 3

Substituímos a primeira coluna de A pelos termos independentes \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 5\end{pmatrix} para obter
A_x = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ 5 & 1 & -5 \end{pmatrix},
e calculamos
D_x = \det(A_x) = 1\cdot\det\!\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 1 & -5\end{pmatrix} -2\cdot\det\!\begin{pmatrix}2 & 0\\\ 5 & -5\end{pmatrix} +1\cdot\det\!\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 5 & 1\end{pmatrix}.
Os menores são
\det\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 1 & -5\end{pmatrix} = -5,\quad \det\begin{pmatrix}2 & 0\\\ 5 & -5\end{pmatrix} = -10,\quad \det\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 5 & 1\end{pmatrix} = -3.
Logo
D_x = 1\cdot(-5) - 2\cdot(-10) + 1\cdot(-3) = -5 + 20 - 3 = 12.

Passo 4

Substituímos a segunda coluna de A pelos termos independentes para obter
A_y = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1\\\\ 2 & 2 & 0\\\\ 1 & 5 & -5 \end{pmatrix},
e calculamos
D_y = \det(A_y) = -1\cdot\det\!\begin{pmatrix}2 & 0\\\ 5 & -5\end{pmatrix} -1\cdot\det\!\begin{pmatrix}2 & 0\\\ 1 & -5\end{pmatrix} +1\cdot\det\!\begin{pmatrix}2 & 2\\\ 1 & 5\end{pmatrix}.
Os menores são
\det\begin{pmatrix}2 & 0\\\ 5 & -5\end{pmatrix} = -10,\quad \det\begin{pmatrix}2 & 0\\\ 1 & -5\end{pmatrix} = -10,\quad \det\begin{pmatrix}2 & 2\\\ 1 & 5\end{pmatrix} = 8.
Logo
D_y = -1\cdot(-10) - 1\cdot(-10) +1\cdot8 = 10 + 10 + 8 = 28.

Passo 5

Substituímos a terceira coluna de A pelos termos independentes para obter
A_z = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1\\\\ 2 & 1 & 2\\\\ 1 & 1 & 5 \end{pmatrix},
e calculamos
D_z = \det(A_z) = -1\cdot\det\!\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 1 & 5\end{pmatrix} -2\cdot\det\!\begin{pmatrix}2 & 2\\\ 1 & 5\end{pmatrix} +1\cdot\det\!\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix}.
Os menores são
\det\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 1 & 5\end{pmatrix} = 3,\quad \det\begin{pmatrix}2 & 2\\\ 1 & 5\end{pmatrix} = 8,\quad \det\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix} = 1.
Logo
D_z = -1\cdot3 - 2\cdot8 + 1\cdot1 = -3 -16 +1 = -18.

Passo 6

Aplicando a regra de Cramer:
x = \frac{D_x}{D} = \frac{12}{26} = \frac{6}{13},\quad y = \frac{D_y}{D} = \frac{28}{26} = \frac{14}{13},\quad z = \frac{D_z}{D} = \frac{-18}{26} = -\frac{9}{13}.

Resposta

x = \tfrac{6}{13},\;y = \tfrac{14}{13},\;z = -\tfrac{9}{13}.

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