Seja A=\left[\begin{array}{ll}4 & 3 \\\\ 1 & 2\end{array}\right]. Determine os autovalores e autovetores de A.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}4 & 3\\[6pt]1 & 2\end{pmatrix}
e pede para determinar os autovalores e autovetores de A.
O conteúdo aqui é cálculo de autovalores via polinômio característico e, em seguida, obtenção dos autovetores resolvendo (A-\lambda I)v=0.]

Passo 2

Para achar o polinômio característico, construímos
A - \lambda I = \begin{pmatrix}4-\lambda & 3\\[4pt]1 & 2-\lambda\end{pmatrix}
e calculamos
\det(A - \lambda I) = (4-\lambda)(2-\lambda) - 3\cdot1 = \bigl(8 -6\lambda +\lambda^2\bigr) - 3 = \lambda^2 -6\lambda +5.]

Passo 3

Impondo \det(A - \lambda I)=0, resolvemos
\lambda^2 -6\lambda +5 = 0.
Usando a fórmula de Bhaskara,
\lambda = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2},
logo os autovalores são
\lambda_1 = 5 \quad\text{e}\quad \lambda_2 = 1.

Passo 4

Para \lambda_1 = 5, montamos
A - 5I = \begin{pmatrix}4-5 & 3\\[4pt]1 & 2-5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 3\\[4pt]1 & -3\end{pmatrix},
e resolvemos (A-5I)v=0. Isso dá o sistema
-\,v_1 + 3v_2 = 0, \quad v_1 - 3v_2 = 0,
ambas as equações são equivalentes a v_1 = 3v_2.
Tomando v_2 = 1, um autovetor associado a \lambda_1=5 é
v^{(1)} = \begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Para \lambda_2 = 1, montamos
A - I = \begin{pmatrix}4-1 & 3\\[4pt]1 & 2-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 3\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix},
e resolvemos (A-I)v=0. O sistema é
3v_1 + 3v_2 = 0, \quad v_1 + v_2 = 0,
ambas as equações levam a v_1 = -v_2.
Tomando v_2 = 1, um autovetor associado a \lambda_2=1 é
v^{(2)} = \begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Resposta

Os autovalores de A são
\lambda_1 = 5,\quad \lambda_2 = 1.
Vetores próprios correspondentes podem ser escolhidos como
v^{(1)} = \begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad v^{(2)} = \begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix},
respectivamente.]

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