Dados os pontos A=(3,2,2), B=(1,0,0), C=(2,3,-1), D=(0,1,1) e E=(0,-2,1), determine:
2(\overrightarrow{A D}-2 \overrightarrow{C A})-\overrightarrow{D A}.

Passo 1

O enunciado dá cinco pontos em \mathbb{R}^3 e pede para calcular um combinação linear de vetores formados por esses pontos. O conteúdo aqui é operação com vetores no espaço: subtração de vetores e multiplicação por escalar. Vamos expressar cada vetor pelas coordenadas dos pontos e depois executar as operações pedidas.

Passo 2

Primeiro, calculamos os vetores básicos \overrightarrow{AD} e \overrightarrow{CA}:
\overrightarrow{AD} = D - A = (0,1,1) - (3,2,2) = (-3,-1,-1),
\overrightarrow{CA} = A - C = (3,2,2) - (2,3,-1) = (1,-1,3).

Passo 3

Agora avaliamos a parte dentro dos parênteses e depois multiplicamos por 2:
\overrightarrow{AD} - 2\,\overrightarrow{CA} = (-3,-1,-1) - 2\,(1,-1,3) = (-3,-1,-1) - (2,-2,6) = (-5,1,-7).
Multiplicando por 2:
2\bigl(\overrightarrow{AD} - 2\,\overrightarrow{CA}\bigr) = 2\,(-5,1,-7) = (-10,2,-14).

Passo 4

Falta subtrair \overrightarrow{DA}. Observamos que \overrightarrow{DA} = -\overrightarrow{AD}, ou calculamos diretamente:
\overrightarrow{DA} = A - D = (3,2,2) - (0,1,1) = (3,1,1).
Logo,
2\bigl(\overrightarrow{AD} - 2\,\overrightarrow{CA}\bigr) - \overrightarrow{DA} = (-10,2,-14) - (3,1,1) = (-10-3,\;2-1,\;-14-1) = (-13,1,-15).

Resposta

(-13,1,-15).

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