Dada a matriz:
\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & -1 \\\\ 0 & 3 & 2 \\\\ 1 & 0 & 4 \end{array}\right]
calcule seu determinante usando Laplace.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1\\\\ 0 & 3 & 2\\\\ 1 & 0 & 4 \end{pmatrix}
e pede seu determinante usando a expansão de Laplace (cofator). Para isso, vamos precisar conhecer a definição de menor complementar M_{ij} e cofator C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.

Passo 2

Escolhemos expandir pela primeira coluna, pois a_{21}=0 simplifica os cálculos. Assim
\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{21}C_{21}+a_{31}C_{31}.

Passo 3

Calculamos C_{11}:
O menor complementar M_{11} é o determinante da submatriz que sobra ao riscar a linha 1 e a coluna 1, ou seja
M_{11} = \det\begin{pmatrix}3 & 2\\\ 0 & 4\end{pmatrix} =3\cdot4 - 2\cdot0 =12.
O cofator é
C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=+1\cdot12=12.

Passo 4

Calculamos C_{31}:
O menor complementar M_{31} vem da submatriz sem a linha 3 e a coluna 1, isto é
M_{31} = \det\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 3 & 2\end{pmatrix} =1\cdot2 - (-1)\cdot3 =2+3=5.
O cofator é
C_{31}=(-1)^{3+1}M_{31}=+1\cdot5=5.

Passo 5

Substituindo em \det(A)=2\cdot C_{11}+0\cdot C_{21}+1\cdot C_{31}, obtemos
\det(A)=2\cdot12 + 0 + 1\cdot5 =24+5 =29.

Resposta

29

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