Resolva o sistema linear por escalonamento:
\left\{\begin{array}{l} x+2 y-z=3 \\\\ 2 x+y+z=5 \\\ x-y+2 z=2 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} x + 2y - z = 3,\\\\ 2x + y + z = 5,\\\ x - y + 2z = 2 \end{cases}
usando escalonamento (eliminação de Gauss). Vamos montar a matriz aumentada e eliminar variáveis para chegar a um sistema triangular.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada associada ao sistema:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 3\\\\ 2 & 1 & 1 & 5\\\\ 1 & -1 & 2 & 2 \end{array}\right].

Passo 3

Eliminamos a variável x nas linhas 2 e 3 usando operações elementares sobre linhas:
– Substituímos L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1, e
– Substituímos L_3 \leftarrow L_3 - L_1.
Isso dá
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 3\\\\ 0 & -3 & 3 & -1\\\\ 0 & -3 & 3 & -1 \end{array}\right].

Passo 4

Agora vemos que as linhas 2 e 3 ficaram iguais. Eliminamos a linha 3 redundante fazendo L_3 \leftarrow L_3 - L_2, obtendo
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 3\\\\ 0 & -3 & 3 & -1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
O sistema reduz-se a duas equações:
\begin{cases} x + 2y - z = 3,\\\\ -3y + 3z = -1. \end{cases}

Passo 5

Como a terceira linha é zero, temos grau de liberdade 1. Seja parâmetro livre z = t.
Da segunda equação:
-3y + 3t = -1 \quad\Longrightarrow\quad y - t = \tfrac{1}{3} \quad\Longrightarrow\quad y = t + \tfrac{1}{3}.
Substituindo em x + 2y - z = 3:
x + 2\Bigl(t + \tfrac{1}{3}\Bigr) - t = 3 \quad\Longrightarrow\quad x + t + \tfrac{2}{3} = 3 \quad\Longrightarrow\quad x = 3 - \tfrac{2}{3} - t = \tfrac{7}{3} - t.

Resposta

A solução geral, com parâmetro t\in\mathbb{R}, é
\bigl(x,y,z\bigr) = \bigl(\tfrac{7}{3}-t,\;t+\tfrac{1}{3},\;t\bigr).

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