Dada a matriz A=(ll3 & 5 1 & 2).
(a) A matriz A é invertível?
(b) Se a matriz A for invertível encontre a inversa dessa matriz utilizando operaçōes elementares.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz A=3 & 51 & 2. Vamos verificar se ela é invertível (determinante não nulo) e, em seguida, encontrar A^-1 usando operações elementares em uma matriz aumentada.

Passo 2

Para decidir se é invertível, calculamos o determinante. O determinante de uma matriz é . Aqui temos:
Como , concluímos que é invertível.

Passo 3

Montamos a matriz aumentada [Amid I] e aplicamos operações de linha para chegar em [Imid A^-1]. Inicialmente:
[Amid I]=(cc|cc3 & 5 & 1 & 01 & 2 & 0 & 1)
  1. Para ter pivô 1 na primeira linha, trocamos a linha 1 com a linha 2:
1 & 2 & 0 & 13 & 5 & 1 & 0
  1. Zeramos o elemento abaixo do pivô fazendo R2>=ts R2-3R1:
1 & 2 & 0 & 10 & -1 & 1 & -3

Passo 4

Agora normalizamos e eliminamos para obter a forma reduzida:
  1. Multiplicamos R2 por -1:
1 & 2 & 0 & 10 & 1 & -1 & 3
  1. Zeramos o elemento acima do pivô da segunda linha fazendo R1>=ts R1-2R2:
1 & 0 & 2 & -50 & 1 & -1 & 3
Agora temos [Imid A^-1], de onde lemos
A^-1=2 & -5-1 & 3

Resposta

Sim, a matriz A é invertível e sua inversa é A^-1=2 & -5-1 & 3.

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