Resolver os seguintes sistemas:
a) lx equiv 1(bmod 2) x equiv 2(bmod 3) x equiv 5(bmod 7)

Passo 1

O enunciado pede a solução do sistema de congruências
x equiv 1 pmod2, x equiv 2 pmod3, x equiv 5 pmod7
O conteúdo que vamos usar é o Teorema Chinês do Resto, que garante solução única módulo o produto dos módulos, desde que eles sejam coprimos (aqui 2, 3 e 7 são coprimos).

Passo 2

Começamos combinando as duas primeiras congruências. Da congruência
x equiv 1 pmod2
podemos escrever x = 2k + 1. Substituindo na segunda
2k + 1 equiv 2 pmod3
isso dá
2k equiv 1 pmod3
Como o inverso de 2 módulo 3 é 2, multiplicamos ambos os lados por 2 e obtemos
k equiv 2 pmod3,
ou seja k = 3m + 2. Logo
x = 2(3m+2)+1 = 6m + 5

Passo 3

Agora usamos x = 6m + 5 na terceira congruência
6m + 5 equiv 5 pmod7
que simplifica para
6m equiv 0 pmod7
O inverso de 6 módulo 7 é 6, então
m equiv 0 pmod7,
isto é m = 7n. Substituindo de volta
x = 6(7n) + 5 = 42n + 5

Resposta

x equiv 5 pmod42

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