Seja A uma matriz
com atovalores
e suponha que você saiba que o auto-espaço para
é bidimensional. Você tem informação suficiente para determinar se A é diagonalizável ? Justifique.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma matriz
de ordem 4 cujos autovalores são
e
, e que o autoespaço associado a
é bidimensional. O conteúdo aqui é diagonalização de matrizes, e vamos precisar da relação entre multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica de cada autovalor.
Passo 2
Como
é 4×4 e só aparecem três valores próprios, as suas multiplicidades algébricas devem somar 4. Logo temos
onde
Passo 3
Pelo enunciado a multiplicidade geométrica de
é 2, que bate com sua multiplicidade algébrica. Para
e
, cada um tem multiplicidade algébrica 1, então sua multiplicidade geométrica também é 1.
Passo 4
Somando as multiplicidades geométricas dos três autovalores temos
que é a dimensão da matriz. Como a soma das dimensões dos autoespaços (multiplicidades geométricas) é igual a 4, concluímos que
Resposta
Sim, A é diagonalizável.