Seja A uma matriz 4 times 4 com atovalores 5,3 e-2 e suponha que você saiba que o auto-espaço para lambda=-2 é bidimensional. Você tem informação suficiente para determinar se A é diagonalizável ? Justifique.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma matriz A de ordem 4 cujos autovalores são 5,3 e -2, e que o autoespaço associado a lambda=-2 é bidimensional. O conteúdo aqui é diagonalização de matrizes, e vamos precisar da relação entre multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica de cada autovalor.

Passo 2

Como A é 4×4 e só aparecem três valores próprios, as suas multiplicidades algébricas devem somar 4. Logo temos
m5=1, m3=1, m-2=2,
onde mlambda é a multiplicidade algébrica do autovalor lambda. Agora, pela teoria, a multiplicidade geométrica de cada autovalor está entre 1 e sua multiplicidade algébrica.

Passo 3

Pelo enunciado a multiplicidade geométrica de -2 é 2, que bate com sua multiplicidade algébrica. Para 5 e 3, cada um tem multiplicidade algébrica 1, então sua multiplicidade geométrica também é 1.

Passo 4

Somando as multiplicidades geométricas dos três autovalores temos
1 + 1 + 2 = 4,
que é a dimensão da matriz. Como a soma das dimensões dos autoespaços (multiplicidades geométricas) é igual a 4, concluímos que A é diagonalizável.

Resposta

Sim, A é diagonalizável.

Exercícios relacionados