Um pêndulo de torção consiste de um halteres suspenso em seu centro por um fio rígido que pode ser torcido. O halteres, de tamanho L, têm uma massa M em cada extremidade. Quando deslocado de sua posição de equilíbrio, theta=0, ele oscila na horizontal, devido a um torque, tau=-gamma cdot theta, onde gamma é a constante de torção. (a) Assumindo que a massa da parte mais estreita do halteres é desprezível, encontre, para o caso de pequenas oscilações, o período de oscilação [dados: M=8 0 g ; L=3 0 c m e gamma=2 1 0 0^5 c m c m^2 / s^2]. (b) Se o sistema parte do repouso em theta=0 , 1 r a d, qual é a energia total do sistema? © Qual é a velocidade máxima de cada massa, dadas as condições iniciais de (b)?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de pêndulo de torção juntos! A gente vai precisar usar conceitos de física sobre movimento harmônico simples, momento de inércia e energia em sistemas oscilatórios. Vou explicar cada passo de forma bem simples para você entender direitinho.

Passo 2

Parte (a): Encontrar o período de oscilação
Primeiro, vamos lembrar que o período de um pêndulo de torção é dado pela fórmula:
T = 2pi raizIgamma
Onde:
  • $ T $ é o período,
  • $ I $ é o momento de inércia,
  • $ \gamma $ é a constante de torção.
Como o pêndulo tem duas massas $ M $ nas extremidades, o momento de inércia $ I $ é:
T
Agora, vamos converter as unidades para o Sistema Internacional (SI):
  • Massa $ M = 80 , g = 0.08 , kg $
  • Comprimento $ L = 30 , cm = 0.30 , m $
  • Constante de torção $ \gamma = 2.10^5 , cm \cdot cm2/\text{s}2 $
Convertendo $ \gamma $ para N·m/rad:
I
Agora calculamos $ I $:
gamma
E finalmente, o período $ T $:
M

Passo 3

Parte (b): Calcular a energia total do sistema
A energia total $ U $ de um pêndulo de torção quando está deslocado é a energia potencial elástica, dada por:
U
Onde $ \theta $ é o deslocamento angular. Substituindo os valores:
U = 12 gamma theta^2
Então, a energia total do sistema é $ 0.000105 , J $.

Passo 4

Parte ©: Determinar a velocidade máxima de cada massa
A velocidade máxima ocorre quando a energia total está totalmente convertida em energia cinética. A velocidade máxima $ v_{max} $ de cada massa pode ser encontrada usando:
vmax
Primeiro, calculamos a frequência angular $ \omega $:
vmax = omega cdot L cdot thetamax
Agora, substituímos na fórmula da velocidade máxima:
omega
Portanto, a velocidade máxima de cada massa é aproximadamente $ 0.036 , m/s $.

Resposta

(a) O período de oscilação é aproximadamente 5,21 segundos.
(b) A energia total do sistema é 0,000105 J.
© A velocidade máxima de cada massa é cerca de 0,036 m/s.

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