Um pêndulo de torção consiste de um halteres suspenso em seu centro por um fio rígido que pode ser torcido. O halteres, de tamanho
, têm uma massa
em cada extremidade. Quando deslocado de sua posição de equilíbrio,
, ele oscila na horizontal, devido a um torque,
, onde
é a constante de torção. (a) Assumindo que a massa da parte mais estreita do halteres é desprezível, encontre, para o caso de pequenas oscilações, o período de oscilação [dados:
. (b) Se o sistema parte do repouso em
, qual é a energia total do sistema? © Qual é a velocidade máxima de cada massa, dadas as condições iniciais de (b)?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de pêndulo de torção juntos! A gente vai precisar usar conceitos de física sobre movimento harmônico simples, momento de inércia e energia em sistemas oscilatórios. Vou explicar cada passo de forma bem simples para você entender direitinho.
Passo 2
Parte (a): Encontrar o período de oscilação
Primeiro, vamos lembrar que o período de um pêndulo de torção é dado pela fórmula:
Onde:
- $ T $ é o período,
- $ I $ é o momento de inércia,
- $ \gamma $ é a constante de torção.
Como o pêndulo tem duas massas $ M $ nas extremidades, o momento de inércia $ I $ é:
Agora, vamos converter as unidades para o Sistema Internacional (SI):
- Massa $ M = 80 , g = 0.08 , kg $
- Comprimento $ L = 30 , cm = 0.30 , m $
- Constante de torção $ \gamma = 2.10^5 , cm \cdot cm2/\text{s}2 $
Convertendo $ \gamma $ para N·m/rad:
Agora calculamos $ I $:
E finalmente, o período $ T $:
Passo 3
Parte (b): Calcular a energia total do sistema
A energia total $ U $ de um pêndulo de torção quando está deslocado é a energia potencial elástica, dada por:
Onde $ \theta $ é o deslocamento angular. Substituindo os valores:
Então, a energia total do sistema é $ 0.000105 , J $.
Passo 4
Parte ©: Determinar a velocidade máxima de cada massa
A velocidade máxima ocorre quando a energia total está totalmente convertida em energia cinética. A velocidade máxima $ v_{max} $ de cada massa pode ser encontrada usando:
Primeiro, calculamos a frequência angular $ \omega $:
Agora, substituímos na fórmula da velocidade máxima:
Portanto, a velocidade máxima de cada massa é aproximadamente $ 0.036 , m/s $.
Resposta
(a) O período de oscilação é aproximadamente 5,21 segundos.
(b) A energia total do sistema é 0,000105 J.
© A velocidade máxima de cada massa é cerca de 0,036 m/s.