Sejam A, B e C matrizes quadradas de mesma ordem. Verifique quais das afirmações a seguir são verdadeiras: I) A B=B A;
10b
Sejam A, B e C matrizes quadradas de mesma ordem. Verifique quais das afirmações a seguir são verdadeiras: II) A(B+C)=A B+A C;
10c
Sejam A, B e C matrizes quadradas de mesma ordem. Verifique quais das afirmações a seguir são verdadeiras: III) A(B+C)=(B+C) A;
10d
Sejam A, B e C matrizes quadradas de mesma ordem. Verifique quais das afirmações a seguir são verdadeiras: IV) A B C=B A C;
10e
Sejam A, B e C matrizes quadradas de mesma ordem. Verifique quais das afirmações a seguir são verdadeiras: V) A(B C)=(A B) C;
10f
Sejam A, B e C matrizes quadradas de mesma ordem. Verifique quais das afirmações a seguir são verdadeiras: VI) Se A^2=0 (matriz nula), então, A=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Recebemos um exercício onde temos três matrizes quadradas $ A $, $ B $ e $ C $ de mesma ordem. O objetivo é verificar se certas propriedades envolvendo essas matrizes são verdadeiras ou não. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como a comutatividade, distributividade e associatividade da multiplicação de matrizes. Precisaremos analisar cada afirmação individualmente e aplicar essas propriedades para ver se elas se mantêm.

Passo 2

Afirmação I: $ A B = B A $
Vamos verificar se a multiplicação de matrizes é comutativa. Em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, $ A B \neq B A $ na maioria dos casos. Existem casos especiais onde isso pode acontecer, mas não é uma regra geral.
Conclusão: Falsa.

Passo 3

Afirmação II: $ A(B + C) = A B + A C $
Aqui estamos vendo a distributividade da multiplicação sobre a adição. A propriedade distributiva sempre vale para matrizes. Isso significa que multiplicar uma matriz pela soma de duas outras é o mesmo que multiplicar cada matriz individualmente e depois somar os resultados.
Conclusão: Verdadeira.

Passo 4

Afirmação III: $ A(B + C) = (B + C) A $
Essa afirmação mistura distributividade com comutatividade. Mesmo que $ A(B + C) $ seja igual a $ A B + A C $ pela distributividade, não podemos trocar $ A $ com $ (B + C) $ já que, como vimos na Afirmação I, a multiplicação de matrizes não é comutativa.
Conclusão: Falsa.

Passo 5

Afirmação IV: $ A B C = B A C $
Novamente, essa afirmação assume que $ A $ e $ B $ comutam, ou seja, $ A B = B A $. Como já vimos que a comutatividade não é garantida, multiplicar $ A B C $ e $ B A C $ não necessariamente dará o mesmo resultado.
Conclusão: Falsa.

Passo 6

Afirmação V: $ A(B C) = (A B) C $
Essa é a associatividade da multiplicação de matrizes. Diferente da comutatividade, a associatividade sempre vale para matrizes. Portanto, a ordem em que as multiplicações são feitas não altera o resultado final.
Conclusão: Verdadeira.

Passo 7

Afirmação VI: Se $ A^{2} = 0 $ (matriz nula), então $ A = 0 $.
Essa afirmação sugere que se uma matriz multiplicada por ela mesma resulta na matriz nula, então a própria matriz deve ser nula. Porém, isso não é necessariamente verdadeiro. Existem matrizes chamadas nilpotentes onde $ A^{k} = 0 $ para algum inteiro $ k > 1 $, mas $ A $ não é a matriz nula.
Conclusão: Falsa.

Resposta

As afirmações II) e V) são verdadeiras, enquanto as afirmações I), III), IV) e VI) são falsas.

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