Sejam A, B e C matrizes quadradas de mesma ordem. Verifique quais das afirmações a seguir são verdadeiras: I)
;
10b
Sejam A, B e C matrizes quadradas de mesma ordem. Verifique quais das afirmações a seguir são verdadeiras: II)
;
10c
Sejam A, B e C matrizes quadradas de mesma ordem. Verifique quais das afirmações a seguir são verdadeiras: III)
;
10d
Sejam A, B e C matrizes quadradas de mesma ordem. Verifique quais das afirmações a seguir são verdadeiras: IV)
;
10e
Sejam A, B e C matrizes quadradas de mesma ordem. Verifique quais das afirmações a seguir são verdadeiras: V)
;
10f
Sejam A, B e C matrizes quadradas de mesma ordem. Verifique quais das afirmações a seguir são verdadeiras: VI) Se
(matriz nula), então,
.
10b
Sejam A, B e C matrizes quadradas de mesma ordem. Verifique quais das afirmações a seguir são verdadeiras: II)
10c
Sejam A, B e C matrizes quadradas de mesma ordem. Verifique quais das afirmações a seguir são verdadeiras: III)
10d
Sejam A, B e C matrizes quadradas de mesma ordem. Verifique quais das afirmações a seguir são verdadeiras: IV)
10e
Sejam A, B e C matrizes quadradas de mesma ordem. Verifique quais das afirmações a seguir são verdadeiras: V)
10f
Sejam A, B e C matrizes quadradas de mesma ordem. Verifique quais das afirmações a seguir são verdadeiras: VI) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! Recebemos um exercício onde temos três matrizes quadradas $ A $, $ B $ e $ C $ de mesma ordem. O objetivo é verificar se certas propriedades envolvendo essas matrizes são verdadeiras ou não. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como a comutatividade, distributividade e associatividade da multiplicação de matrizes. Precisaremos analisar cada afirmação individualmente e aplicar essas propriedades para ver se elas se mantêm.
Passo 2
Afirmação I: $ A B = B A $
Vamos verificar se a multiplicação de matrizes é comutativa. Em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, $ A B \neq B A $ na maioria dos casos. Existem casos especiais onde isso pode acontecer, mas não é uma regra geral.
Conclusão: Falsa.
Passo 3
Afirmação II: $ A(B + C) = A B + A C $
Aqui estamos vendo a distributividade da multiplicação sobre a adição. A propriedade distributiva sempre vale para matrizes. Isso significa que multiplicar uma matriz pela soma de duas outras é o mesmo que multiplicar cada matriz individualmente e depois somar os resultados.
Conclusão: Verdadeira.
Passo 4
Afirmação III: $ A(B + C) = (B + C) A $
Essa afirmação mistura distributividade com comutatividade. Mesmo que $ A(B + C) $ seja igual a $ A B + A C $ pela distributividade, não podemos trocar $ A $ com $ (B + C) $ já que, como vimos na Afirmação I, a multiplicação de matrizes não é comutativa.
Conclusão: Falsa.
Passo 5
Afirmação IV: $ A B C = B A C $
Novamente, essa afirmação assume que $ A $ e $ B $ comutam, ou seja, $ A B = B A $. Como já vimos que a comutatividade não é garantida, multiplicar $ A B C $ e $ B A C $ não necessariamente dará o mesmo resultado.
Conclusão: Falsa.
Passo 6
Afirmação V: $ A(B C) = (A B) C $
Essa é a associatividade da multiplicação de matrizes. Diferente da comutatividade, a associatividade sempre vale para matrizes. Portanto, a ordem em que as multiplicações são feitas não altera o resultado final.
Conclusão: Verdadeira.
Passo 7
Afirmação VI: Se $ A^{2} = 0 $ (matriz nula), então $ A = 0 $.
Essa afirmação sugere que se uma matriz multiplicada por ela mesma resulta na matriz nula, então a própria matriz deve ser nula. Porém, isso não é necessariamente verdadeiro. Existem matrizes chamadas nilpotentes onde $ A^{k} = 0 $ para algum inteiro $ k > 1 $, mas $ A $ não é a matriz nula.
Conclusão: Falsa.
Resposta
As afirmações II) e V) são verdadeiras, enquanto as afirmações I), III), IV) e VI) são falsas.