Se a matriz \mathbf{G} representa a eficiência de duas máquinas em diferentes turnos:
\mathbf{G}=\left[\begin{array}{ll} 0.9 & 0.7 \\\\ 0.8 & 0.6 \end{array}\right]
Calcule \mathbf{G}^{2} e interprete o resultado.

Passo 1

O enunciado fornece a matriz \mathbf{G}\in\mathbb{R}^{2\times2} que registra as eficiências de duas máquinas em dois turnos:
\mathbf{G}=\begin{pmatrix}0.9 & 0.7\\\ 0.8 & 0.6\end{pmatrix}.
Pede-se \mathbf{G}^2=\mathbf{G}\,\mathbf{G} e a interpretação desse resultado. Para isso usaremos a definição de multiplicação de matrizes: para \mathbf{G}^2=\bigl(h_{ij}\bigr), vale
h_{ij}=\sum_{k=1}^{2}g_{ik}\,g_{kj}.

Passo 2

Escrevemos
\mathbf{G}=\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0.9&0.7\\\ 0.8&0.6\end{pmatrix},
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(\mathbf{G}^2)_{ij}=g_{i1}g_{1j}+g_{i2}g_{2j}.

Passo 3

Calcular a primeira linha de \mathbf{G}^2:
(\mathbf{G}^2)_{11}=0.9\cdot0.9+0.7\cdot0.8=0.81+0.56=1.37,
(\mathbf{G}^2)_{12}=0.9\cdot0.7+0.7\cdot0.6=0.63+0.42=1.05.

Passo 4

Calcular a segunda linha de \mathbf{G}^2:
(\mathbf{G}^2)_{21}=0.8\cdot0.9+0.6\cdot0.8=0.72+0.48=1.20,
(\mathbf{G}^2)_{22}=0.8\cdot0.7+0.6\cdot0.6=0.56+0.36=0.92.

Resposta

\mathbf{G}^2 = \begin{pmatrix}1.37 & 1.05 \\\\ 1.20 & 0.92\end{pmatrix}.
Cada entrada (\mathbf{G}^2)_{ij} corresponde à eficiência composta da máquina i ao passar por dois turnos em sequência, somando as contribuições via turnos intermediários. Por exemplo, o valor \,1.05 em (1,2) é a eficiência acumulada da máquina 1 no turno 2 considerando todos os caminhos pelos dois turnos.

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