Dada a matriz \mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}-5 & -3 \\\\ 3 & 2\end{array}\right) determine o valor de \mathrm{A}^{-1}+\mathrm{A}^{\mathrm{t}}-\mathrm{I}_{2} Passo 1O enunciado dá a matriz \mathrm{A} = \begin{pmatrix}-5 & -3 \\[6pt] 3 & 2\end{pmatrix} e pede o valor de \mathrm{A}^{-1} + \mathrm{A}^{t} - \mathrm{I}_{2}. O conteúdo aqui envolve: cálculo do determinante e da inversa de uma matriz 2\times2 (fórmula da adjunta), cálculo da transposta de uma matriz, soma e subtração de matrizes, incluindo a matriz identidade \mathrm{I}_{2}.] Passo 2Para inverter \mathrm{A} usamos que, para \displaystyle \mathrm{A}=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}, \det(\mathrm{A})=ad-bc, \mathrm{A}^{-1}=\frac{1}{\det(\mathrm{A})}\begin{pmatrix}d&-b\\\ -c&a\end{pmatrix}. Aqui a=-5, b=-3, c=3, d=2. Logo \det(\mathrm{A}) = (-5)\cdot2 - (-3)\cdot3 = -10 + 9 = -1. Portanto a adjunta é \begin{pmatrix}2&3\\\ -3&-5\end{pmatrix} e \mathrm{A}^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix}2&3\\\ -3&-5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 & -3 \\[3pt] 3 & 5\end{pmatrix}.] Passo 3A transposta de \mathrm{A} troca linhas por colunas. Assim, \mathrm{A}^{t} = \begin{pmatrix}-5 & 3 \\[3pt] -3 & 2\end{pmatrix}.] Passo 4Agora somamos \mathrm{A}^{-1} com \mathrm{A}^{t} e subtraímos \mathrm{I}_{2}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}: \mathrm{A}^{-1} + \mathrm{A}^{t} = \begin{pmatrix}-2 & -3 \\[3pt] 3 & 5\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-5 & 3 \\[3pt] -3 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-7 & 0 \\[3pt] 0 & 7\end{pmatrix}. Subtraindo \mathrm{I}_{2}: \begin{pmatrix}-7 & 0 \\[3pt] 0 & 7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-8 & 0 \\[3pt] 0 & 6\end{pmatrix}.] Resposta \mathrm{A}^{-1} + \mathrm{A}^{t} - \mathrm{I}_{2} = \begin{pmatrix}-8 & 0 \\[3pt] 0 & 6\end{pmatrix}.] MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionados Determinar se existir a inversa da matriz \mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}3 & 2 \\\\ -1 & 4\end{array}\right) Mostrar que a matriz A=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 3 & 1\end{array}\right) é a inversa da Matriz B=\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\\\ 3 & -2\end{array}\right) Determine o valor dos determinantes \left|\begin{array}{ll}2 & 5 \\\\ 1 & 8\end{array}\right| \left|\begin{array}{ccc}2 & 0 & 2 \\\\ 1 & 5 & 6 \\\\ -1 & 3 & 4\end{array}\right| Resolver as equações \left|\begin{array}{cc}6 & 2 \\\ x+1 & x\end{array}\right|=10