1. Dada a matriz \mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}-5 & -3 \\\\ 3 & 2\end{array}\right) determine o valor de \mathrm{A}^{-1}+\mathrm{A}^{\mathrm{t}}-\mathrm{I}_{2}

Passo 1

O enunciado dá a matriz
\mathrm{A} = \begin{pmatrix}-5 & -3 \\[6pt] 3 & 2\end{pmatrix}
e pede o valor de \mathrm{A}^{-1} + \mathrm{A}^{t} - \mathrm{I}_{2}.
O conteúdo aqui envolve:
  1. cálculo do determinante e da inversa de uma matriz 2\times2 (fórmula da adjunta),
  2. cálculo da transposta de uma matriz,
  3. soma e subtração de matrizes, incluindo a matriz identidade \mathrm{I}_{2}.]

Passo 2

Para inverter \mathrm{A} usamos que, para \displaystyle \mathrm{A}=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix},
\det(\mathrm{A})=ad-bc,
\mathrm{A}^{-1}=\frac{1}{\det(\mathrm{A})}\begin{pmatrix}d&-b\\\ -c&a\end{pmatrix}.
Aqui a=-5, b=-3, c=3, d=2. Logo
\det(\mathrm{A}) = (-5)\cdot2 - (-3)\cdot3 = -10 + 9 = -1.
Portanto a adjunta é \begin{pmatrix}2&3\\\ -3&-5\end{pmatrix}
e
\mathrm{A}^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix}2&3\\\ -3&-5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 & -3 \\[3pt] 3 & 5\end{pmatrix}.]

Passo 3

A transposta de \mathrm{A} troca linhas por colunas. Assim,
\mathrm{A}^{t} = \begin{pmatrix}-5 & 3 \\[3pt] -3 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora somamos \mathrm{A}^{-1} com \mathrm{A}^{t} e subtraímos \mathrm{I}_{2}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}:
\mathrm{A}^{-1} + \mathrm{A}^{t} = \begin{pmatrix}-2 & -3 \\[3pt] 3 & 5\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-5 & 3 \\[3pt] -3 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-7 & 0 \\[3pt] 0 & 7\end{pmatrix}.
Subtraindo \mathrm{I}_{2}:
\begin{pmatrix}-7 & 0 \\[3pt] 0 & 7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-8 & 0 \\[3pt] 0 & 6\end{pmatrix}.]

Resposta

\mathrm{A}^{-1} + \mathrm{A}^{t} - \mathrm{I}_{2} = \begin{pmatrix}-8 & 0 \\[3pt] 0 & 6\end{pmatrix}.]

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