1. Determinar se existir a inversa da matriz \mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}3 & 2 \\\\ -1 & 4\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar, e caso exista, calcular a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix}3 & 2 \\\\ -1 & 4\end{pmatrix}.
Vamos usar o critério de invertibilidade pelo determinante e, em seguida, aplicar a fórmula da inversa para matrizes 2\times2.

Passo 2

Calcular o determinante de A. Para uma matriz
\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix},
temos
\det(A)=ad - bc.
Aqui a=3, b=2, c=-1 e d=4, logo
\det(A)=3\cdot4 \;-\; 2\cdot(-1)=12+2=14.

Passo 3

Verificar invertibilidade: como
\det(A)=14\neq0,
a matriz A é invertível e sua inversa existe.

Passo 4

Usar a fórmula da inversa para matriz 2\times2:
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b\\\\ -c & a \end{pmatrix}.
Substituindo a=3, b=2, c=-1, d=4 e \det(A)=14, obtemos
A^{-1} =\frac{1}{14} \begin{pmatrix} 4 & -2\\\\ 1 & 3 \end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1} =\frac{1}{14} \begin{pmatrix} 4 & -2\\\\ 1 & 3 \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados