1. Mostrar que a matriz A=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 3 & 1\end{array}\right) é a inversa da Matriz B=\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\\\ 3 & -2\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A = \begin{pmatrix}2 & 1 \\\\ 3 & 1\end{pmatrix}
e
B = \begin{pmatrix}-1 & 1 \\\\ 3 & -2\end{pmatrix}
e pede para mostrar que A é inversa de B. Para isso, vamos usar a definição: uma matriz A é inversa de B se e somente se
AB = I \quad\text{e}\quad BA = I,
onde
I = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix}
é a matriz identidade de ordem 2.

Passo 2

Calcular o produto AB. Aplicando a regra de multiplicação de matrizes 2\times2, temos
AB = \begin{pmatrix}2 & 1 \\\\ 3 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1 & 1 \\\\ 3 & -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot(-1) + 1\cdot3 & 2\cdot1 + 1\cdot(-2) \\[6pt] 3\cdot(-1) + 1\cdot3 & 3\cdot1 + 1\cdot(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 + 3 & 2 - 2 \\[4pt] -3 + 3 & 3 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I.]

Passo 3

Calcular o produto BA. De modo análogo:
BA = \begin{pmatrix}-1 & 1 \\\\ 3 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 1 \\\\ 3 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)\cdot2 + 1\cdot3 & (-1)\cdot1 + 1\cdot1 \\[6pt] 3\cdot2 + (-2)\cdot3 & 3\cdot1 + (-2)\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 + 3 & -1 + 1 \\[4pt] 6 - 6 & 3 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I.]

Passo 4

Como obtivemos AB = I e BA = I, pela definição de inversa concluímos que
A = B^{-1}.

Resposta

A é a inversa de B.

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