Dada uma matriz \mathrm{A}=\left(a_{i j}\right)_{\substack{1 \leqslant i \leqslant n \\\\ 1 \leqslant j \leqslant m}} denomina-se transposta de A e indica-se por A^{t} a matriz A^{t}=\left(b_{i j}\right)_{\substack{1 \leqslant i \leqslant m \\\\ 1 \leqslant j \leqslant n}} onde b_{i j}=a_{j i}. Quando \mathrm{n}=\mathrm{m}, a matriz A é dita simétrica quando A^{t}=A, antissimétrica quando A^{t}=-A e ortogonal quando A é invertivel e A^{-1}=A^{t}.
Existem números reais x e y tais que a matriz \left(\begin{array}{cc}\sqrt{2} & x \\\ y & \sqrt{2}\end{array}\right) seja uma matriz ortogonal?

Passo 1

O enunciado define que uma matriz quadrada A é ortogonal se ela for invertível e satisfizer
A^{-1} = A^{t},
o que, em matrizes reais, equivale a
A^{t}A = I.
Aqui queremos saber se existem x,y\in\mathbb{R} tais que
A = \begin{pmatrix} \sqrt{2} & x\\[6pt] y & \sqrt{2} \end{pmatrix}
seja ortogonal.]

Passo 2

Para testar a ortogonalidade, montamos o produto
A^{t}A.
Como
A^{t} = \begin{pmatrix} \sqrt{2} & y\\[6pt] x & \sqrt{2} \end{pmatrix},
temos
A^{t}A = \begin{pmatrix} \sqrt{2} & y\\[6pt] x & \sqrt{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{2} & x\\[6pt] y & \sqrt{2} \end{pmatrix}.]

Passo 3

Fazendo o produto em cada entrada:
(A^{t}A)_{11} = (\sqrt{2})^2 + y^2 = 2 + y^2,
(A^{t}A)_{12} = \sqrt{2}\,x + y\,\sqrt{2} = \sqrt{2}\,(x+y),
(A^{t}A)_{21} = x\,\sqrt{2} + \sqrt{2}\,y = \sqrt{2}\,(x+y),
(A^{t}A)_{22} = x^2 + (\sqrt{2})^2 = x^2 + 2.

Passo 4

Para A ser ortogonal, precisamos de
A^{t}A = I = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.
Assim, as quatro equações são:
2 + y^2 = 1,
\sqrt{2}\,(x+y) = 0,
x^2 + 2 = 1.
Das duas equações diagonais obtemos
y^2 = -1 \quad\text{e}\quad x^2 = -1,
que não têm solução em \mathbb{R}.

Resposta

Não existem x,y\in\mathbb{R} tais que a matriz seja ortogonal.

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