Dada uma matriz \mathrm{A}=\left(a_{i j}\right)_{\substack{1 \leqslant i \leqslant n \\\\ 1 \leqslant j \leqslant m}} denomina-se transposta de A e indica-se por A^{t} a matriz A^{t}=\left(b_{i j}\right)_{\substack{1 \leqslant i \leqslant m \\\\ 1 \leqslant j \leqslant n}} onde b_{i j}=a_{j i}. Quando \mathrm{n}=\mathrm{m}, a matriz A é dita simétrica quando A^{t}=A, antissimétrica quando A^{t}=-A e ortogonal quando A é invertivel e A^{-1}=A^{t}.
Existem números reais x e y tais que a matriz \left(\begin{array}{cc}\sqrt{2} & x \\\ y & \sqrt{2}\end{array}\right) seja uma matriz ortogonal?
Passo 1
O enunciado define que uma matriz quadrada A é ortogonal se ela for invertível e satisfizer
A^{-1} = A^{t},
o que, em matrizes reais, equivale a
A^{t}A = I.
Aqui queremos saber se existem x,y\in\mathbb{R} tais que
A = \begin{pmatrix} \sqrt{2} & x\\[6pt] y & \sqrt{2} \end{pmatrix}
seja ortogonal.]
Passo 2
Para testar a ortogonalidade, montamos o produto
A^{t}A.
Como
A^{t} = \begin{pmatrix} \sqrt{2} & y\\[6pt] x & \sqrt{2} \end{pmatrix},
temos
A^{t}A = \begin{pmatrix} \sqrt{2} & y\\[6pt] x & \sqrt{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{2} & x\\[6pt] y & \sqrt{2} \end{pmatrix}.]