Dada uma matriz A não singular, considere a fatoração A=L U, com L=(li j) triangular inferior com li i=1, i=1, ldots, n, e U=(ui j) triangular superior.
explique por que, se A é não singular, então U também o será, donde uk k neq 0, k=1, ldots, n;

Passo 1

Beleza, temos uma matriz A invertível (ou “não singular”) e alguém já a decompôs em A = L·U, onde L é triangular inferior com todos os l_{ii}=1 e U é triangular superior. O que queremos mostrar é que U também é invertível (logo “não singular”) e, por consequência, cada elemento da diagonal de U, u_{kk}, é diferente de zero.
Matéria envolvida: propriedades de determinante (multiplicatividade e caso triangular).

Passo 2

Lembra que uma matriz é invertível se, e só se, seu determinante é diferente de zero. E tem outra propriedade fundamental:
det(A·B) = det(A) · det(B).
Como A = L·U, então
det(A) ;=;det(L,U);=;det(L),det(U)

Passo 3

Agora, qual é o determinante de uma matriz triangular? É só o produto dos elementos da diagonal. No nosso caso, L tem todos os l_{ii}=1, então
det(L);=;prodi=1^n lii;=;1cdot1cdots1;=;1
Substituindo em det(A)=det(L)·det(U) dá
det(A);=;1cdotdet(U);Longrightarrow;det(U)=det(A)

Passo 4

Como A é não singular, temos det(A)≠0. Logo det(U)=det(A)≠0. Mas U é triangular, então
det(U)=prodi=1^n uii
Para esse produto ser diferente de zero, nenhum dos fatores pode ser zero. Logo, para cada k de 1 a n,
ukkneq0

Resposta

U é não singular (invertível), pois det(U)=det(A)≠0, e portanto cada u_{kk}≠0.

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