Dada uma matriz A não singular, considere a fatoração
, com
triangular inferior com
, e
triangular superior.
explique por que, se A é não singular, então
também o será, donde
,
;
explique por que, se A é não singular, então
Passo 1
Beleza, temos uma matriz A invertível (ou “não singular”) e alguém já a decompôs em A = L·U, onde L é triangular inferior com todos os l_{ii}=1 e U é triangular superior. O que queremos mostrar é que U também é invertível (logo “não singular”) e, por consequência, cada elemento da diagonal de U, u_{kk}, é diferente de zero.
Matéria envolvida: propriedades de determinante (multiplicatividade e caso triangular).
Matéria envolvida: propriedades de determinante (multiplicatividade e caso triangular).
Passo 2
Lembra que uma matriz é invertível se, e só se, seu determinante é diferente de zero. E tem outra propriedade fundamental:
det(A·B) = det(A) · det(B).
Como A = L·U, então
det(A·B) = det(A) · det(B).
Como A = L·U, então
Passo 3
Agora, qual é o determinante de uma matriz triangular? É só o produto dos elementos da diagonal. No nosso caso, L tem todos os l_{ii}=1, então
Substituindo em det(A)=det(L)·det(U) dá
Passo 4
Como A é não singular, temos det(A)≠0. Logo det(U)=det(A)≠0. Mas U é triangular, então
Para esse produto ser diferente de zero, nenhum dos fatores pode ser zero. Logo, para cada k de 1 a n,
Resposta
U é não singular (invertível), pois det(U)=det(A)≠0, e portanto cada u_{kk}≠0.