Dada uma matriz A não singular, considere a fatoração , com triangular inferior com , e triangular superior.
teste seu algoritmo, fatorando A e então resolvendo o sistema abaixo, sendo
fatorar numa multiplicação , onde é triangular inferior com diagonal 1 e é triangular superior, e depois resolver usando essa fatoração.
Conteúdo: Decomposição LU (método de Doolittle) + substituição pra sistemas triangulares. Não precisa supor nenhum conhecimento prévio além de álgebra linear básica.
Passo 2
Método de Doolittle:
A gente vai construir com .
Na primeira coluna, calculamos .
Depois definimos e, em cada passo , usamos os já achados pra zerar abaixo do pivô e atualizar os .
Resumindo, eliminamos graficamente como na eliminação de Gauss, mas armazenamos os multiplicadores em e o resultado em .
Agora resolvemos y1=11, y2=13-0.5cdot11=7.5, y3=21.6-0.7cdot11-0.3cdot7.5=11.65, y4=30-(-1)cdot11-2cdot7.5-0.645161cdot11.65approx18.4839 por substituição pra frente:
Passo 5
Agora x4=tfracy4u44=tfrac18.483918.4839=1, x3=tfracy3-u34x4u33=tfrac11.65-7cdot14.65=1, x2=tfracy2-u23x3-u24x4u22=tfrac7.5-0.5-52=1, x1=tfracy1-3x2-1x3-5x42=tfrac11-3-1-52=1 por substituição pra trás: