Dada uma matriz A não singular, considere a fatoração A=L U, com L=(li j) triangular inferior com li i=1, i=1, ldots, n, e U=(ui j) triangular superior.
teste seu algoritmo, fatorando A e então resolvendo o sistema abaixo, sendo
A=(rrrr 2 & 3 & 1 & 5 1 & 3.5 & 1 & 7.5 1.4 & 2.7 & 5.5 & 12 -2 & 1 & 3 & 28 ) e b=(r 11 13 21.6 30 )

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente pegar a matriz
A= 2 & 3 & 1 & 5 1 & 3.5 & 1 & 7.5 1.4 & 2.7 & 5.5 & 12 -2 & 1 & 3 & 28 e b=111321.630,
fatorar numa multiplicação , onde é triangular inferior com diagonal 1 e é triangular superior, e depois resolver usando essa fatoração.
Conteúdo: Decomposição LU (método de Doolittle) + substituição pra sistemas triangulares. Não precisa supor nenhum conhecimento prévio além de álgebra linear básica.

Passo 2

Método de Doolittle:
  • A gente vai construir com .
  • Na primeira coluna, calculamos .
  • Depois definimos e, em cada passo , usamos os já achados pra zerar abaixo do pivô e atualizar os .
    Resumindo, eliminamos graficamente como na eliminação de Gauss, mas armazenamos os multiplicadores em e o resultado em .

Passo 3

Vamos aos números:
  1. Pivô u33=5.5-0.7cdot1-0.3cdot0.5=4.65, u34=12-0.7cdot5-0.3cdot5=7, .
    • l43=3-(-1)cdot1-2cdot0.54.65approx0.645161 .
    • u44=28-(-1)cdot5-2cdot5-0.645161cdot7approx18.4839 .
  2. Segundo pivô L= 1&0&0&0 0.5&1&0&0 0.7&0.3&1&0 -1&2&0.645161&1 , U= 2&3&1&5 0&2&0.5&5 0&0&4.65&7 0&0&0&18.4839 .
    • .
    • .
  3. Terceiro pivô
  4. Quarto pivô
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Passo 4

Agora resolvemos y1=11, y2=13-0.5cdot11=7.5, y3=21.6-0.7cdot11-0.3cdot7.5=11.65, y4=30-(-1)cdot11-2cdot7.5-0.645161cdot11.65approx18.4839 por substituição pra frente:

Passo 5

Agora x4=tfracy4u44=tfrac18.483918.4839=1, x3=tfracy3-u34x4u33=tfrac11.65-7cdot14.65=1, x2=tfracy2-u23x3-u24x4u22=tfrac7.5-0.5-52=1, x1=tfracy1-3x2-1x3-5x42=tfrac11-3-1-52=1 por substituição pra trás:

Resposta

x=1111

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