Esboce a região e, utilizando integral dupla, encontre a área da região indicada pelas equações em coordenadas polares:
Região delimitada pela curva r=4 sen(theta) e fora da curva r=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente esboçar a região dada pelas curvas em coordenadas polares
• r = 4 sen θ (uma “círculo” acima do eixo x)
• r = 2 (um círculo de raio 2)
e então usar uma integral dupla pra achar a área dessa região que está dentro de r = 4 sen θ e fora de r = 2.
Conteúdo envolvido:
  1. Transformação pra coordenadas polares e seu elemento de área dA = r dr dθ (o tal do jacobiano r).
  2. Determinar os limites de θ e de r a partir da interseção das curvas.
  3. Calcular a integral usando identidade trig (sin²θ).

Passo 2

Primeiro achar onde as curvas se cruzam, ou seja:
4 sen θ = 2
⇒ sen θ = 1/2
⇒ θ = π/6 ou θ = 5π/6
Se desenhar mentalmente, a curva r=4 sen θ é um “meio-círculo” de diâmetro 4 em cima do eixo x. Ela só existe pra θ entre 0 e π. A região “dentro de r=4 sen θ e fora de r=2” significa que r varia de 2 até 4 sen θ, mas só quando 4 sen θ ≥ 2, isto é θ entre π/6 e 5π/6.
Então:
θ ∈ [π/6, 5π/6]
r ∈ [2, 4 sen θ]

Passo 3

Agora a integral dupla em polares pra área vale
A = ∬_Região dA = ∫_{θ=π/6}^{5π/6} ∫_{r=2}^{4 sinθ} r dr dθ
Aqui a teoria: em coordenadas polares a medida de área dA = r dr dθ (o “Jacobi” r aparece porque cada retângulozinho em (r,θ) se alonga em r).

Passo 4

Vamos calcular por partes:
  1. Integral interna em r:
    ∫_{r=2}^{4 sinθ} r dr = [r²/2]_{2}^{4 sinθ}
    = (1/2)(16 sin²θ − 4)
    = 8 sin²θ − 2
  2. Então
    A = ∫_{π/6}^{5π/6} (8 sin²θ − 2) dθ
  3. Usamos a identidade sin²θ = (1 − cos 2θ)/2:
    8 sin²θ − 2 = 8·(1−cos 2θ)/2 − 2 = 4 − 4 cos 2θ − 2 = 2 − 4 cos 2θ
  4. Agora
    A = ∫_{π/6}^{5π/6} (2 − 4 cos 2θ) dθ
    = [2θ − 2 sin 2θ]_{π/6}^{5π/6}
  5. Avaliando nos limites:
    Em θ = 5π/6 → 2·5π/6 − 2 sin(10π/6) = (5π/3) − 2 sin(5π/3) = 5π/3 − 2·(−√3/2) = 5π/3 + √3
    Em θ = π/6 → 2·π/6 − 2 sin(2π/6) = (π/3) − 2 sin(π/3) = π/3 − 2·(√3/2) = π/3 − √3
    Subtraindo:
    A = [5π/3 + √3] − [π/3 − √3] = (5π/3 − π/3) + (√3 + √3) = 4π/3 + 2√3

Resposta

A área da região é
A = 4pi3 + 2raiz3

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