Dada a matriz A=[cc1 & 3 0 & -1], obtenha:
a) A^2;
b) A^3;
c) A^14 e
d) A^15.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 30 & -1
e pede potências de A. O conteúdo é “potência de matriz triangular”, que podemos fazer por multiplicação direta ou observando que A satisfaz um polinômio simples.

Passo 2

Vamos calcular A^2 por multiplicação:
A^2 = 1 & 30 & -1 1 & 30 & -1 = 1cdot1 + 3cdot0 & 1cdot3 + 3cdot(-1) 0cdot1 + (-1)cdot0 & 0cdot3 + (-1)cdot(-1) = 1 & 00 & 1 =I

Passo 3

Como A^2=I, temos
A^3 = A^2 ,A = I,A = A

Passo 4

Do fato A^2=I segue que qualquer potência par de A é I e qualquer potência ímpar é A. Portanto,
A^14 = l(A^2r)^7 = I^7 = I,
A^15 = A^14,A = I,A = A

Resposta

a) A^2 = 1 & 00 & 1
b) A^3 = 1 & 30 & -1
c) A^14 = 1 & 00 & 1
d) A^15 = 1 & 30 & -1

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