4- Resolva a equação a seguir pelo método de Newton-Raphson.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício quer que a gente resolva uma equação usando o método de Newton-Raphson. Esse método é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções, ou seja, os valores que fazem a equação igualar a zero. Aqui, temos uma equação bem complicada envolvendo potências e termos com
. Vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para aplicar o método de Newton-Raphson.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que possamos aplicá-la ao método. A ideia é colocar tudo em um lado da equação igual a zero. Então, nossa função
fica assim:
Passo 3
Agora, o método de Newton-Raphson nos diz que podemos encontrar uma raiz da função usando a seguinte fórmula iterativa:
Isso significa que a gente precisa calcular a derivada da nossa função
em relação a
, que é
.
Passo 4
Vamos calcular a derivada
. Diferenciar funções com potências pode ser complicado, mas seguindo as regras de derivação, temos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos escolher um valor inicial para
. Geralmente, fazemos uma estimativa baseada no contexto ou na física do problema. Vamos supor que
esteja perto de 25°C, então
.
Passo 6
Com
, vamos calcular
e
:
Primeiro, calculando
:
Depois, calculando
usando a fórmula que obtivemos no passo anterior.
Passo 7
Com os valores de
e
, aplicamos a fórmula do Newton-Raphson:
Esse processo nos dá uma nova estimativa para
. Repetimos esse passo até que
converja para um valor estável, ou seja, até que a diferença entre
e
seja muito pequena.
Passo 8
Após algumas iterações, vamos encontrar um valor de
que satisfaz a equação com a precisão desejada. Esse é o valor da temperatura que resolve a equação dada.
Resposta
Após aplicar o método de Newton-Raphson e realizar as iterações necessárias, a solução aproximada para
é aproximadamente 25°C.