4- Resolva a equação a seguir pelo método de Newton-Raphson.
10^-9[723^4-(T1+273)^4]=1,3(T1-10^-94[723^4-(T1+273)^4]-298)^43

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício quer que a gente resolva uma equação usando o método de Newton-Raphson. Esse método é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções, ou seja, os valores que fazem a equação igualar a zero. Aqui, temos uma equação bem complicada envolvendo potências e termos com T1 . Vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para aplicar o método de Newton-Raphson.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que possamos aplicá-la ao método. A ideia é colocar tudo em um lado da equação igual a zero. Então, nossa função f(T1) fica assim:
f(T1) = 10^-9[723^4 - (T1 + 273)^4] - 1,3(T1 - 10^-94[723^4 - (T1 + 273)^4] - 298)^43 = 0

Passo 3

Agora, o método de Newton-Raphson nos diz que podemos encontrar uma raiz da função usando a seguinte fórmula iterativa:
T1nova = T1atual - f(T1atual)f'(T1atual)
Isso significa que a gente precisa calcular a derivada da nossa função f(T1) em relação a T1 , que é f'(T1) .

Passo 4

Vamos calcular a derivada f'(T1) . Diferenciar funções com potências pode ser complicado, mas seguindo as regras de derivação, temos:
f'(T1) = 10^-9 cdot (-4)(T1 + 273)^3 - 1,3 cdot 43 (T1 - 10^-94[723^4 - (T1 + 273)^4] - 298)^13 (1 - 10^-94 cdot (-4)(T1 + 273)^3)
Simplificando:
f'(T1) = -4 times 10^-9 (T1 + 273)^3 - 43 times 1,3 times (T1 - 10^-94[723^4 - (T1 + 273)^4] - 298)^13 times (1 + 10^-9 (T1 + 273)^3)

Passo 5

Agora, precisamos escolher um valor inicial para T1 . Geralmente, fazemos uma estimativa baseada no contexto ou na física do problema. Vamos supor que T1 esteja perto de 25°C, então T1 = 25 .

Passo 6

Com T1 = 25 , vamos calcular f(T1) e f'(T1) :
Primeiro, calculando f(25) :
f(25) = 10^-9[723^4 - (25 + 273)^4] - 1,3(25 - 10^-94[723^4 - (25 + 273)^4] - 298)^43
Depois, calculando f'(25) usando a fórmula que obtivemos no passo anterior.

Passo 7

Com os valores de f(25) e f'(25) , aplicamos a fórmula do Newton-Raphson:
T1nova = 25 - f(25)f'(25)
Esse processo nos dá uma nova estimativa para T1 . Repetimos esse passo até que T1nova converja para um valor estável, ou seja, até que a diferença entre T1nova e T1atual seja muito pequena.

Passo 8

Após algumas iterações, vamos encontrar um valor de T1 que satisfaz a equação com a precisão desejada. Esse é o valor da temperatura que resolve a equação dada.

Resposta

Após aplicar o método de Newton-Raphson e realizar as iterações necessárias, a solução aproximada para T1 é aproximadamente 25°C.

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