Sejam A, B e C matrizes quadradas de mesma ordem. Verifique quais das afirmações a seguir são verdadeiras:
I)
;
II)
;
III)
;
IV)
;
V)
;
VI)
(matriz nula), então,
.
I)
II)
III)
IV)
V)
VI)
Passo 1
O enunciado dá três matrizes quadradas
,
e
de mesma ordem e pede para verificar seis afirmações envolvendo comutatividade (
), distributividade, associatividade e uma propriedade de nilpotência (
). Vamos analisar cada uma usando propriedades gerais de matrizes.
Passo 2
Analisando I)
. Em geral a multiplicação de matrizes não é comutativa. Por exemplo, se
então
Logo I) é falsa.
Passo 3
Analisando II)
. Esta é a distributividade da multiplicação sobre a soma à esquerda, que vale para todas as matrizes compatíveis. Portanto II) é verdadeira.
Passo 4
Analisando III)
. O lado direito expande-se em
, que em geral não coincide com
, salvo em casos especiais de comutação. Logo III) é falsa.
Passo 5
Analisando IV)
. Aqui estamos permutando
e
na multiplicação de três matrizes. Em geral não vale, pois exige que
e
comutem. Portanto IV) é falsa.
Passo 6
Analisando V)
. Esta é a associatividade do produto de matrizes, que é sempre válida. Logo V) é verdadeira.
Passo 7
Analisando VI) “Se
, então
”. Em álgebra de matrizes existem matrizes nilpotentes não nulas com quadrado zero. Por exemplo
mas
. Portanto VI) é falsa.
Resposta
As únicas afirmações sempre verdadeiras são II) e V).