Sejam A, B e C matrizes quadradas de mesma ordem. Verifique quais das afirmações a seguir são verdadeiras:
I) A B=B A;
II) A(B+C)=A B+A C;
III) A(B+C)=(B+C) A;
IV) A B C=B A C;
V) A(B C)=(A B) C;
VI) Se A^2=0 (matriz nula), então, A=0.

Passo 1

O enunciado dá três matrizes quadradas A, B e C de mesma ordem e pede para verificar seis afirmações envolvendo comutatividade ( AB=BA), distributividade, associatividade e uma propriedade de nilpotência ( A^2=0). Vamos analisar cada uma usando propriedades gerais de matrizes.

Passo 2

Analisando I) AB=BA. Em geral a multiplicação de matrizes não é comutativa. Por exemplo, se
A=0&10&0, B=0&01&0,
então
AB=1&00&0neq 0&00&1=BA
Logo I) é falsa.

Passo 3

Analisando II) A(B+C)=AB+AC. Esta é a distributividade da multiplicação sobre a soma à esquerda, que vale para todas as matrizes compatíveis. Portanto II) é verdadeira.

Passo 4

Analisando III) A(B+C)=(B+C)A. O lado direito expande-se em BA+CA, que em geral não coincide com AB+AC, salvo em casos especiais de comutação. Logo III) é falsa.

Passo 5

Analisando IV) ABC=BAC. Aqui estamos permutando A e B na multiplicação de três matrizes. Em geral não vale, pois exige que A e B comutem. Portanto IV) é falsa.

Passo 6

Analisando V) A(BC)=(AB)C. Esta é a associatividade do produto de matrizes, que é sempre válida. Logo V) é verdadeira.

Passo 7

Analisando VI) “Se A^2=0, então A=0”. Em álgebra de matrizes existem matrizes nilpotentes não nulas com quadrado zero. Por exemplo
A=0&10&0 tem A^2=0&00&0
mas Aneq0. Portanto VI) é falsa.

Resposta

As únicas afirmações sempre verdadeiras são II) e V).

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