Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de M(2,2) :
a)
[ll a & b c & d ] ; b=a+c, d=c
b)
[ll a & b c & d ] ; b=a+c
c)
[ll a & b c & d ] ; c=a-3 b, d=0
d)
[ll a & b c & d ] ; a+d=b+c

Passo 1

O enunciado pede a dimensão e uma base para quatro subespaços de M(2,2) definidos por restrições lineares nas entradas a,b,c,d. Vamos, para cada caso, parametrizar as matrizes livres, contar quantos parâmetros independentes existem (isso dá a dimensão) e extrair as matrizes correspondentes aos parâmetros como uma base.

Passo 2

Para o item (a) temos
b=a+c, d=c
Escolhendo a e c como parâmetros livres, qualquer matriz do subespaço é
a & a+c c & c = a1&10&0 + c0&11&1
Aqui há dois parâmetros livres, logo a dimensão é 2, e uma base é
l1&10&0,,0&11&1r.

Passo 3

Para o item (b) temos
b=a+c,
sem restrição sobre d. Escolhendo a,c,d livres,
a & a+c c & d = a1&10&0 + c0&11&0 + d0&00&1
São três parâmetros livres, logo dimensão 3, e uma base é
l1&10&0,,0&11&0,,0&00&1r.

Passo 4

Para o item (c) temos
c=a-3b, d=0
Tomando a,b livres,
a & b a-3b & 0 = a1&01&0 + b0&1-3&0
Dois parâmetros livres dão dimensão 2, e uma base é
l1&01&0,,0&1-3&0r.

Passo 5

Para o item (d) a condição é
a+d=b+cLongrightarrow a=b+c-d
Escolhendo b,c,d livres,
b+c-d & b c & d = b1&10&0 + c1&01&0 + d-1&00&1
Temos três parâmetros livres, logo dimensão 3, e uma base é
l1&10&0,,1&01&0,,-1&00&1r.

Resposta

(a) dim=2, base 1&10&0,0&11&1.
(b) dim=3, base 1&10&0,0&11&0,0&00&1.
(c) dim=2, base 1&01&0,0&1-3&0.
(d) dim=3, base 1&10&0,1&01&0,-1&00&1.

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