Quantas arestas tem um poliedro convexo de faces triangulares em que o número de vértices é 35 do número de faces?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria que fala sobre poliedros convexos com faces triangulares. A gente precisa descobrir quantas arestas esse poliedro tem, sabendo que o número de vértices é três quintos do número de faces. Para isso, vamos usar algumas fórmulas básicas de poliedros e relacionar vértices, arestas e faces.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar o número de faces de F e o número de vértices de V . Segundo o enunciado, sabemos que:
V = 35F

Passo 3

Como todas as faces são triangulares, cada face tem 3 arestas. Porém, cada aresta é compartilhada por duas faces. Então, a relação entre o número de arestas ( E ) e as faces é:
3F = 2E
Dessa forma, podemos expressar E em função de F :
E = 32F

Passo 4

Agora, vamos usar a Fórmula de Euler para poliedros convexos, que diz:
V - E + F = 2
Substituindo V = 35F e E = 32F na fórmula:
35F - 32F + F = 2

Passo 5

Vamos simplificar essa equação. Primeiro, encontramos um denominador comum para as frações, que é 10:
610F - 1510F + 1010F = 2
Somando os termos:
(6 - 15 + 10) F10 = 2
1 cdot F10 = 2

Passo 6

Resolvendo para F :
F10 = 2 implies F = 20

Passo 7

Agora que sabemos que F = 20 , podemos encontrar E :
E = 32F = 32 times 20 = 30

Resposta

O poliedro convexo possui 30 arestas.

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