Quantas arestas tem um poliedro convexo de faces triangulares em que o número de vértices é
do número de faces?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria que fala sobre poliedros convexos com faces triangulares. A gente precisa descobrir quantas arestas esse poliedro tem, sabendo que o número de vértices é três quintos do número de faces. Para isso, vamos usar algumas fórmulas básicas de poliedros e relacionar vértices, arestas e faces.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar o número de faces de
e o número de vértices de
. Segundo o enunciado, sabemos que:
Passo 3
Como todas as faces são triangulares, cada face tem 3 arestas. Porém, cada aresta é compartilhada por duas faces. Então, a relação entre o número de arestas (
) e as faces é:
Dessa forma, podemos expressar
em função de
:
Passo 4
Agora, vamos usar a Fórmula de Euler para poliedros convexos, que diz:
Substituindo
e
na fórmula:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação. Primeiro, encontramos um denominador comum para as frações, que é 10:
Somando os termos:
Passo 6
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora que sabemos que
, podemos encontrar
:
Resposta
O poliedro convexo possui 30 arestas.